集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．$A$ 为一复矩阵， 0 为 $A$ 的 $k$ 重特征根，则 $r\left(A^{k}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解特征值与Jordan标准形的关系
设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，0 是 $A$ 的 $k$ 重特征值。则 $A$ 的 Jordan 标准形中，对应特征值 0 的 Jordan 块的总阶数为 $k$。即所有特征值为 0 的 Jordan 块的阶数之和等于 $k$。
提示：注意：特征值的代数重数等于对应Jordan块的总阶数。
步骤 2/5
目标：分析Jordan块的幂次性质
考虑一个 $m$ 阶 Jordan 块 $J(0, m)$，其形式为对角线元素为0，次对角线为1的矩阵。对于幂次 $r$，有：当 $r \geq m$ 时，$J(0, m)^r = 0$；当 $r < m$ 时，$J(0, m)^r$ 的秩为 $m - r$。
公式：J(0,m)^r = 0 \text{ if } r \geq m; \quad \text{rank}(J(0,m)^r) = m - r \text{ if } r < m
提示：注意：Jordan块幂次的秩随着幂次增加而减少，直到变为零矩阵。
步骤 3/5
目标：应用幂次性质到所有Jordan块
由于0是 $k$ 重特征值，所有特征值为0的Jordan块的阶数 $m_i$ 满足 $\sum m_i = k$，且每个 $m_i \leq k$。因此，对于每个Jordan块，当 $r = k$ 时，有 $k \geq m_i$，所以 $J(0, m_i)^k = 0$。
公式：m_i \leq k \Rightarrow J(0, m_i)^k = 0
提示：注意：每个Jordan块的阶数不超过总重数k。
步骤 4/5
目标：得出A的k次幂为零矩阵
由于 $A$ 相似于其 Jordan 标准形 $J$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = PJP^{-1}$。则 $A^k = P J^k P^{-1}$。而 $J$ 由所有Jordan块组成，每个特征值为0的Jordan块的 $k$ 次幂为零，特征值非零的Jordan块可逆，但这里只有特征值0的块，所以 $J^k = 0$，从而 $A^k = 0$。
公式：A^k = P J^k P^{-1} = 0
提示：注意：相似变换下秩不变，且零矩阵的秩为0。
步骤 5/5
目标：计算秩
由于 $A^k = 0$，零矩阵的秩为0，因此 $r(A^k) = 0$。
公式：r(0) = 0
提示：注意：零矩阵的秩定义为0。
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