集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
6．$A 、 B$ 都为正交矩阵，若 $|A|+|B|=0$ ，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾正交矩阵行列式的性质
对于正交矩阵 $A$，有 $A^T A = I$，两边取行列式得 $|A^T A| = |I|$，即 $|A|^2 = 1$，所以 $|A| = \pm 1$。同理，$|B| = \pm 1$。
公式：$|A|^2 = 1$
提示：注意正交矩阵的行列式只能是 $\pm 1$，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：利用已知条件 $|A|+|B|=0$ 推导关系
由 $|A|+|B|=0$ 得 $|B| = -|A|$。因此 $|A|$ 和 $|B|$ 互为相反数，即一个为 $1$，另一个为 $-1$。
公式：$|B| = -|A|$
提示：注意 $|A|$ 和 $|B|$ 都是实数，且绝对值相等。
步骤 3/5
目标：计算 $|AB|$
由行列式的乘法性质，$|AB| = |A| \cdot |B|$。代入 $|B| = -|A|$ 得 $|AB| = |A| \cdot (-|A|) = -|A|^2$。
公式：$|AB| = |A| \cdot |B|$
提示：注意行列式乘法公式中，$|AB| = |A||B|$，不要混淆为 $|A+B|$。
步骤 4/5
目标：代入 $|A|^2 = 1$ 得到结果
由于 $|A|^2 = 1$，所以 $|AB| = -1$。
公式：$|A|^2 = 1$
提示：注意 $|A|^2$ 是 $|A|$ 的平方，不要写成 $|A^2|$。
步骤 5/5
目标：总结答案
因此，$|AB| = -1$。
提示：最终答案是一个确定的数值，不要遗漏负号。
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