集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．（20 分）设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个不同的数，而 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)$ ，证明：
（1）．$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}=1$
（2）．任意多项式 $f(x)$ 用 $F(x)$ 除所得的余式为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(a_{i}\right) F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造多项式G(x)并分析其性质
令 $G(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{F(x)}{(x-a_i)F'(a_i)}$。由于 $F(x) = \prod_{j=1}^n (x-a_j)$，则 $F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i - a_j)$。每个分式约去 $(x-a_i)$ 后分子为 $\prod_{j \neq i} (x-a_j)$，次数为 $n-1$，故 $G(x)$ 是次数不超过 $n-1$ 的多项式。
公式：F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i - a_j)
提示：注意 $F'(a_i)$ 的计算，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：计算G(x)在点a_k处的值
对于任意 $a_k$，有 $G(a_k) = \sum_{i=1}^n \frac{F(a_k)}{(a_k-a_i)F'(a_i)}$。当 $i \neq k$ 时，$F(a_k)=0$，所以项为零；当 $i=k$ 时，分子分母均为零，需取极限。由洛必达法则：$\lim_{x \to a_k} \frac{F(x)}{(x-a_k)F'(a_k)} = \frac{F'(a_k)}{F'(a_k)} = 1$。因此 $G(a_k)=1$ 对所有 $k=1,\dots,n$ 成立。
公式：\lim_{x \to a_k} \frac{F(x)}{(x-a_k)F'(a_k)} = 1
提示：处理 $\frac{0}{0}$ 型极限时，正确使用洛必达法则或直接展开。
步骤 3/5
目标：利用多项式根的性质证明恒等式
由于 $G(x)-1$ 是次数不超过 $n-1$ 的多项式，且有 $n$ 个不同的根 $a_1,\dots,a_n$，故 $G(x)-1 \equiv 0$，即 $G(x)=1$。因此 $\sum_{i=1}^{n} \frac{F(x)}{(x-a_i)F'(a_i)} = 1$。
提示：次数小于 $n$ 的多项式若有 $n$ 个不同根，则必为零多项式。
步骤 4/5
目标：设余式并利用插值条件
设 $f(x)$ 除以 $F(x)$ 的余式为 $r(x)$，则 $\deg r < n$，且 $f(a_i)=r(a_i)$ 对 $i=1,\dots,n$ 成立。由拉格朗日插值公式，满足 $r(a_i)=f(a_i)$ 且次数小于 $n$ 的多项式唯一，即 $r(x) = \sum_{i=1}^n f(a_i) \prod_{j \neq i} \frac{x-a_j}{a_i-a_j}$。
公式：r(x) = \sum_{i=1}^n f(a_i) \prod_{j \neq i} \frac{x-a_j}{a_i-a_j}
提示：注意插值基函数的形式，分母为 $a_i-a_j$，分子为 $x-a_j$。
步骤 5/5
目标：将插值公式转化为题目形式
注意到 $\prod_{j \neq i} (x-a_j) = \frac{F(x)}{x-a_i}$，且 $F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i-a_j)$，所以 $r(x) = \sum_{i=1}^n f(a_i) \frac{F(x)}{(x-a_i)F'(a_i)}$。因此余式为 $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{f(a_i)F(x)}{(x-a_i)F'(a_i)}$。
公式：\prod_{j \neq i} (x-a_j) = \frac{F(x)}{x-a_i}, \quad F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i-a_j)
提示：注意 $F'(a_i)$ 与插值分母的关系，符号要一致。
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