集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．（1）设 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，如果 $\sigma^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\sigma^{k} \alpha=0$ ，求证： $\alpha, \sigma \alpha, \cdots, \sigma^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关．
（2）设 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是实二次型，已知存在 $n$ 维向量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 使得 $X_{1}^{T} A X_{1}<0$ ， $X_{2}^{T} A X_{2}>0$ ，证明：必存在 $n$ 维向量 $X_{0} \neq 0$ ，使得 $X_{0}^{T} A X_{0}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定线性组合并作用σ^(k-1)
设存在一组数 $c_0, c_1, \dots, c_{k-1}$ 使得 $c_0 \alpha + c_1 \sigma \alpha + \cdots + c_{k-1} \sigma^{k-1} \alpha = 0$。对等式两边作用 $\sigma^{k-1}$，得 $c_0 \sigma^{k-1} \alpha + c_1 \sigma^k \alpha + \cdots + c_{k-1} \sigma^{2k-2} \alpha = 0$。
公式：$\sigma^{k-1}(c_0 \alpha + c_1 \sigma \alpha + \cdots + c_{k-1} \sigma^{k-1} \alpha)=0$
提示：注意线性变换作用于线性组合时，系数保持不变。
步骤 2/7
目标：利用条件σ^k α=0化简
由于 $\sigma^k \alpha = 0$，则对任意 $m \geq k$ 有 $\sigma^m \alpha = 0$。因此 $\sigma^k \alpha = \sigma^{k+1} \alpha = \cdots = \sigma^{2k-2} \alpha = 0$，上式化为 $c_0 \sigma^{k-1} \alpha = 0$。
公式：$\sigma^m \alpha = 0$ 对 $m \geq k$
提示：注意 $\sigma^k \alpha = 0$ 意味着更高次幂也为零。
步骤 3/7
目标：推出c0=0
由已知 $\sigma^{k-1} \alpha \neq 0$，且 $c_0 \sigma^{k-1} \alpha = 0$，故 $c_0 = 0$。
提示：非零向量与标量乘积为零，则标量必为零。
步骤 4/7
目标：依次作用σ^(k-2)等推出所有系数为零
类似地，对原式作用 $\sigma^{k-2}$，得 $c_1 \sigma^{k-1} \alpha = 0$，从而 $c_1 = 0$。依次类推，每次作用 $\sigma^{k-1-j}$ 可得 $c_j = 0$，最终所有系数均为零。
公式：$\sigma^{k-1-j}(c_0 \alpha + \cdots + c_{k-1} \sigma^{k-1} \alpha)=c_j \sigma^{k-1} \alpha$
提示：注意每次作用后，只有一项非零，其余项因幂次≥k而为零。
步骤 5/7
目标：结论：向量组线性无关
由线性无关的定义，向量组 $\alpha, \sigma \alpha, \cdots, \sigma^{k-1} \alpha$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：仅当所有系数为零时线性组合为零。
步骤 6/7
目标：构造连续函数并利用介值定理
考虑函数 $g(t) = f(tX_1 + (1-t)X_2)$，其中 $t \in [0,1]$。则 $g(t)$ 是关于 $t$ 的二次函数，且 $g(0)=f(X_2)=X_2^T A X_2 > 0$，$g(1)=f(X_1)=X_1^T A X_1 < 0$。由连续函数的介值定理，存在 $t_0 \in (0,1)$ 使得 $g(t_0)=0$。
公式：$g(t) = (tX_1+(1-t)X_2)^T A (tX_1+(1-t)X_2)$
提示：注意 $g(t)$ 是连续函数，且端点值异号。
步骤 7/7
目标：得到非零向量X0满足二次型为零
令 $X_0 = t_0 X_1 + (1-t_0) X_2$，则 $X_0 \neq 0$（否则 $X_1$ 与 $X_2$ 共线，但 $f$ 在 $X_1$ 和 $X_2$ 处异号，矛盾），且 $X_0^T A X_0 = f(X_0) = g(t_0) = 0$。故存在非零向量 $X_0$ 使得 $X_0^T A X_0 = 0$。
公式：$X_0^T A X_0 = 0$
提示：需验证 $X_0 \neq 0$，否则 $X_1$ 与 $X_2$ 共线，与异号矛盾。
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