集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．$W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0\right\}$ 作线性变换 $\sigma$ 使得对于 $X \in W$ 有
$\sigma(X)=B^{T} X-X^{T} B$ ，其中 $B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$
（1）．求 $W$ 的一组基（7 分）
（2）．证明 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。（6分）
（3）．在 $W$ 中考虑 $\sigma$ ，求 $\sigma W$ 的一组基，使得 $\sigma_{W}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定W的结构并给出基
W是迹为0的2阶实矩阵集合，即满足$x_{11}+x_{22}=0$。维数为3，一组标准基可取：
$E_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$，$E_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$E_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$。
公式：$\operatorname{tr}(X)=0$
提示：注意基向量必须线性无关且张成W，通常取矩阵单位元组合。
步骤 2/5
目标：证明W是σ的不变子空间
对任意$X\in W$，有$\operatorname{tr}(X)=0$。计算$\sigma(X)=B^T X - X^T B$的迹：
$\operatorname{tr}(\sigma(X))=\operatorname{tr}(B^T X)-\operatorname{tr}(X^T B)=\operatorname{tr}(X B^T)-\operatorname{tr}(B X^T)=\operatorname{tr}(X B^T)-\operatorname{tr}((X B^T)^T)=\operatorname{tr}(X B^T)-\operatorname{tr}(X B^T)=0$。
故$\sigma(X)\in W$，所以W是σ的不变子空间。
公式：$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$，$\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A^T)$
提示：注意矩阵乘法顺序和迹的循环性质，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：计算σ在基E1,E2,E3下的矩阵
分别计算σ作用在基向量上的结果：
$\sigma(E_1)=B^T E_1 - E_1^T B = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = -E_2+E_3$。
$\sigma(E_2)=B^T E_2 - E_2^T B = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} = E_2-E_3$。
$\sigma(E_3)=B^T E_3 - E_3^T B = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = -E_2+E_3$。
因此σ在基下的矩阵为$A=\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(E_i)=\sum_j a_{ji}E_j$
提示：计算时注意矩阵乘法的顺序，B^T是B的转置，X^T是X的转置。
步骤 4/5
目标：求特征值和特征向量
特征多项式：$\det(\lambda I-A)=\lambda\begin{vmatrix}\lambda-1&1\\1&\lambda-1\end{vmatrix}=\lambda((\lambda-1)^2-1)=\lambda(\lambda^2-2\lambda)=\lambda^2(\lambda-2)=0$，特征值为$0$（二重）和$2$。
对于$\lambda=2$，解$(2I-A)v=0$：$\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}v=0$，得$v=(0,-1,1)^T$，对应矩阵$-E_2+E_3$。
对于$\lambda=0$，解$Av=0$：$\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}v=0$，得$v_1=(1,0,0)^T$对应$E_1$，$v_2=(0,1,1)^T$对应$E_2+E_3$。
公式：$\det(\lambda I-A)=0$
提示：注意特征向量的线性无关性，二重特征值需要两个线性无关的特征向量。
步骤 5/5
目标：构造对角化基并给出矩阵
取基：$F_1=E_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$，$F_2=E_2+E_3=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，$F_3=-E_2+E_3=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$。
在此基下，$\sigma_W$的矩阵为对角矩阵$\operatorname{diag}(0,0,2)$。
公式：$\sigma(F_i)=\lambda_i F_i$
提示：验证特征向量是否属于W，且基向量线性无关。
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