首都师范大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $A$ 是 $n$ 级半正定矩阵，$D$ 是 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵．
（1）证明：若 $A$ 正定，则 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 半正定．
（2）当 $A$ 非正定时，请问 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 是半正定吗？说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解正定矩阵的性质
已知 $A$ 是 $n$ 级正定矩阵，则 $A$ 可逆且 $A^{-1}$ 正定。伴随矩阵 $A^* = |A| A^{-1}$，由于 $|A|>0$，故 $A^*$ 也是正定矩阵。
公式：A^* = |A| A^{-1}
提示：注意正定矩阵的行列式大于0，且逆矩阵也是正定的。
步骤 2/7
目标：构造二次型并利用正定性
考虑二次型 $x^T (D^T A^* D) x = (Dx)^T A^* (Dx)$。由于 $A^*$ 正定，对于任意非零向量 $y$，有 $y^T A^* y > 0$。
公式：x^T (D^T A^* D) x = (Dx)^T A^* (Dx)
提示：注意二次型的变量是 $x$，但通过变换转化为 $Dx$ 的二次型。
步骤 3/7
目标：分情况讨论二次型的值
对于任意 $x$，若 $Dx \neq 0$，则 $(Dx)^T A^* (Dx) > 0$；若 $Dx = 0$，则 $(Dx)^T A^* (Dx) = 0$。因此二次型非负，即 $D^T A^* D$ 半正定。
提示：半正定要求二次型对所有 $x$ 非负，这里满足。
步骤 4/7
目标：分析半正定非正定情形
当 $A$ 半正定但非正定时，$A$ 可能不可逆。但半正定矩阵的伴随矩阵 $A^*$ 仍然是半正定的。例如，若 $A$ 秩为 $n-1$，则 $A^*$ 是秩1的半正定矩阵；若秩小于 $n-1$，则 $A^*=0$。
提示：需要证明半正定矩阵的伴随矩阵半正定，这是关键。
步骤 5/7
目标：证明半正定矩阵的伴随矩阵半正定
设 $A$ 半正定，则 $A$ 的特征值 $\lambda_i \geq 0$。$A^*$ 的特征值为 $\prod_{j\neq i} \lambda_j$，由于所有 $\lambda_j \geq 0$，故这些乘积非负，所以 $A^*$ 半正定。
公式：特征值关系：$\mu_i = \prod_{j\neq i} \lambda_j$
提示：注意当 $A$ 奇异时，$A^*$ 可能为零矩阵，也是半正定的。
步骤 6/7
目标：应用(1)的结论到半正定情形
由于 $A^*$ 半正定，对于任意实矩阵 $D$，二次型 $x^T (D^T A^* D) x = (Dx)^T A^* (Dx) \geq 0$，因此 $D^T A^* D$ 半正定。
提示：与(1)的推导相同，只是将正定改为半正定。
步骤 7/7
目标：总结结论
无论 $A$ 正定还是半正定（非正定），$D^T A^* D$ 总是半正定的。
提示：注意题目中“非正定”指半正定但非正定，不包括不定矩阵。
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