上海大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
判断题
（1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1
（2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似
（3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$
（4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$
（5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间
$\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断（1）酉矩阵特征值模长为1
设 $U$ 为酉矩阵，即 $U^*U = I$。取特征值 $\lambda$ 和对应特征向量 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，则 $U\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。计算 $\mathbf{x}^*\mathbf{x} = \mathbf{x}^*U^*U\mathbf{x} = (\bar{\lambda}\mathbf{x}^*)(\lambda\mathbf{x}) = |\lambda|^2 \mathbf{x}^*\mathbf{x}$，由于 $\mathbf{x}^*\mathbf{x} > 0$，得 $|\lambda|^2 = 1$，故 $|\lambda| = 1$。
公式：$U^*U = I$
提示：注意特征向量非零，且 $\mathbf{x}^*\mathbf{x}$ 为正实数。
步骤 2/5
目标：判断（2）二阶矩阵迹和行列式相同是否相似
反例：取 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。$\operatorname{tr}(A)=0$，$\det(A)=0$；$\operatorname{tr}(B)=0$，$\det(B)=0$。但 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B$ 的为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，不相似。
提示：迹和行列式相同只是相似的必要条件，非充分。
步骤 3/5
目标：判断（3）矩阵乘积的秩不等式
由秩的性质，$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$ 且 $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$，因此 $\operatorname{rank}(C) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$。
公式：$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$
提示：注意矩阵乘法可能降低秩。
步骤 4/5
目标：判断（4）是否存在矩阵使得 $AB-BA=I$
对方阵取迹，$\operatorname{tr}(AB-BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$，而 $\operatorname{tr}(I_n) = n$。当 $n>0$ 时，$0 \neq n$，故不存在这样的 $A,B$。
公式：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$
提示：迹的循环性质是关键。
步骤 5/5
目标：判断（5）三个子空间维数公式
正确公式为 $\dim(U_1+U_2+U_3) = \sum \dim U_i - \sum \dim(U_i \cap U_j) + \dim(U_1 \cap U_2 \cap U_3)$。题目中最后一项系数为2，错误。反例：在 $\mathbb{R}^2$ 中取 $U_1=\{(x,0)\}$，$U_2=\{(0,y)\}$，$U_3=\{(x,x)\}$，则 $U_1+U_2+U_3 = \mathbb{R}^2$，$\dim=2$。各维数均为1，两两交为0，三交为0，代入题目公式得 $1+1+1-0-0-0+2\times0=3 \neq 2$。
公式：$\dim(U_1+U_2+U_3) = \sum \dim U_i - \sum \dim(U_i \cap U_j) + \dim(U_1 \cap U_2 \cap U_3)$
提示：注意系数为1不是2，可用包含-交原理推导。
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