上海理工大学 2025年高等代数第9题
📝 题目
9．已知 $A$ 是正定矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}, \beta$ 是 $n$ 维欧式空间中的 $\displaystyle n+1$ 个向量，满足：
（1）$\displaystyle \alpha_{i} \neq 0 \quad i=1,2, \cdots, n$
（2）$\displaystyle \alpha_{i}^{T} A \alpha_{j}=0$ 对于所有 $\displaystyle i \neq j$
（3）$\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \alpha_{i}$ 正交 $\displaystyle \quad i=1,2, \cdots, n$
求 $\displaystyle \beta$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明向量组线性无关
由条件(2)知，对于 $i \neq j$，有 $\alpha_i^T A \alpha_j = 0$。假设存在一组系数 $c_1,\dots,c_n$ 使得 $\sum_{j=1}^n c_j \alpha_j = 0$，则对每个 $i$，左乘 $\alpha_i^T A$ 得 $c_i \alpha_i^T A \alpha_i = 0$。由于 $A$ 正定且 $\alpha_i \neq 0$，有 $\alpha_i^T A \alpha_i > 0$，故 $c_i = 0$。因此 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性无关，构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。
公式：\alpha_i^T A \alpha_j = 0 \ (i \neq j), \quad \alpha_i^T A \alpha_i > 0
提示：注意正定性保证 $\alpha_i^T A \alpha_i > 0$，这是系数为零的关键。
步骤 2/5
目标：将β表示为基的线性组合
由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基，存在唯一的一组系数 $k_1,\dots,k_n$ 使得 $\beta = \sum_{j=1}^n k_j \alpha_j$。
公式：\beta = \sum_{j=1}^n k_j \alpha_j
提示：基的表示是唯一的，系数由坐标决定。
步骤 3/5
目标：利用正交条件建立方程组
条件(3)说 $\beta$ 与每个 $\alpha_i$ 正交，即 $\beta^T \alpha_i = 0$ 对 $i=1,\dots,n$。代入 $\beta$ 的表达式得：$\left(\sum_{j=1}^n k_j \alpha_j\right)^T \alpha_i = \sum_{j=1}^n k_j (\alpha_j^T \alpha_i) = 0$。
公式：\sum_{j=1}^n k_j (\alpha_j^T \alpha_i) = 0 \quad (i=1,\dots,n)
提示：注意这里的内积是标准欧式内积，不是A内积。
步骤 4/5
目标：分析系数矩阵的可逆性
令 $G$ 为 $n \times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 元为 $\alpha_j^T \alpha_i$（注意顺序）。则方程组为 $G \mathbf{k} = 0$，其中 $\mathbf{k} = (k_1,\dots,k_n)^T$。由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性无关，Gram矩阵 $G$ 是正定矩阵，从而可逆。因此方程组只有零解：$\mathbf{k} = 0$。
公式：G_{ij} = \alpha_j^T \alpha_i, \quad G \mathbf{k} = 0 \Rightarrow \mathbf{k}=0
提示：Gram矩阵的正定性依赖于向量组的线性无关性。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $\mathbf{k}=0$ 得 $\beta = \sum_{j=1}^n 0 \cdot \alpha_j = 0$。因此 $\beta$ 是零向量。
公式：\beta = 0
提示：注意零向量与任何向量正交，符合条件(3)。
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