东北师范大学 2023年高等代数第9题

9．设函数 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(M)=A x+B y+C z+D$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 是不全为零的实数，$\displaystyle M(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$ ，证明：如果三点 $\displaystyle M_{0}, M_{1}, M_{2}$ 共线，且 $\displaystyle \vec{M}_{1} \vec{M}_{0}=\lambda \overrightarrow{M_{0} M_{2}}, \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1$ ，那么 $$ f\left(M_{0}\right)=\frac{f\left(M_{1}\right)+\lambda f\left(M_{2}\right)}{1+\lambda} $$