东南大学 2020年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle A, B$ 为正定矩阵，证明 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda A-B|$ 的根均大于 0 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A的正定性进行合同变换
由于$A$是正定矩阵，存在可逆矩阵$P$使得$P^T A P = I$。这是正定矩阵的合同标准形。
公式：$P^T A P = I$
提示：注意$P$是可逆的，且$P^T A P$是合同变换，不是相似变换。
步骤 2/5
目标：定义矩阵C并证明其正定性
令$C = P^T B P$。由于$B$正定且$P$可逆，$C$也是正定矩阵。因为对任意非零向量$x$，有$x^T C x = (P x)^T B (P x) > 0$。
公式：$C = P^T B P$
提示：正定矩阵的合同变换保持正定性，但要注意$P$是可逆的。
步骤 3/5
目标：将特征多项式f(λ)用C表示
计算$f(\lambda) = |\lambda A - B|$。由于$A = (P^T)^{-1} P^{-1}$，但更直接地，利用行列式乘法：$f(\lambda) = |P^T| \cdot |\lambda I - C| \cdot |P|$。因为$|\lambda A - B| = |P^T (\lambda I - C) P| = |P^T| \cdot |\lambda I - C| \cdot |P|$。
公式：$|\lambda A - B| = |P^T| \cdot |\lambda I - C| \cdot |P|$
提示：注意行列式乘法性质：$|XY| = |X||Y|$，且$|P^T| = |P|$。
步骤 4/5
目标：分析f(λ)=0与C的特征值的关系
由于$|P^T|$和$|P|$是非零常数，$f(\lambda)=0$当且仅当$|\lambda I - C|=0$。即$\lambda$是矩阵$C$的特征值。
公式：$f(\lambda)=0 \iff |\lambda I - C|=0$
提示：注意$P$可逆，所以行列式非零。
步骤 5/5
目标：利用C的正定性得出根的正性
由于$C$是正定矩阵，它的所有特征值都大于0。因此$|\lambda I - C|=0$的根（即$C$的特征值）均大于0。所以$f(\lambda)$的根均大于0。
公式：正定矩阵的特征值全大于0
提示：正定矩阵的特征值全为正，这是正定矩阵的基本性质。
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