东南大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 的各元素的代数余子式之和为 1 ，求
$$
\left|\begin{array}{lll}
1+a_{11} & 1+a_{12} & 1+a_{13} \\
1+a_{21} & 1+a_{22} & 1+a_{23} \\
1+a_{31} & 1+a_{32} & 1+a_{33}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与符号设定
设矩阵 $A = (a_{ij})_{3 \times 3}$，其元素 $a_{ij}$ 的代数余子式为 $A_{ij}$。已知所有代数余子式之和为 $1$，即 $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 A_{ij} = 1$。要求计算行列式 $\det(B)$，其中 $B = \begin{pmatrix} 1+a_{11} & 1+a_{12} & 1+a_{13} \\ 1+a_{21} & 1+a_{22} & 1+a_{23} \\ 1+a_{31} & 1+a_{32} & 1+a_{33} \end{pmatrix}$。
提示：注意代数余子式 $A_{ij}$ 的定义：$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
步骤 2/6
目标：利用行列式的线性性质拆分
将行列式 $\det(B)$ 的每一列拆分为两个列的和：第一列拆为 $(1,1,1)^T$ 与 $(a_{11},a_{21},a_{31})^T$，第二列拆为 $(1,1,1)^T$ 与 $(a_{12},a_{22},a_{32})^T$，第三列拆为 $(1,1,1)^T$ 与 $(a_{13},a_{23},a_{33})^T$。根据行列式的多重线性性质，$\det(B)$ 等于所有可能组合的 $2^3=8$ 个行列式的和，每个行列式的每一列取自原拆分中的一列。
公式：行列式的线性性质：若某列是两列之和，则行列式等于两个行列式之和。
提示：拆分时注意保持列的顺序，每个拆分后的行列式由原矩阵的列或全1列组成。
步骤 3/6
目标：识别为零的行列式
在8个行列式中，任何包含两列或三列都是全1列的行列式值为零，因为此时有两列完全相同（全1列），行列式为零。因此，只有以下情况非零：
- 三列都是 $a$ 的列：即 $\det(A)$。
- 恰好一列是全1列，其余两列是 $a$ 的列。共有3种情况，分别对应全1列在第1、2、3列。
公式：行列式性质：若有两列相同，则行列式为零。
提示：注意全1列与 $a$ 列不同，但全1列之间相同。
步骤 4/6
目标：计算一列为全1列的行列式
考虑全1列在第1列的情况：
$\det\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} \\ 1 & a_{22} & a_{23} \\ 1 & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$。按第一列展开，得 $1 \cdot A_{11} + 1 \cdot A_{21} + 1 \cdot A_{31} = \sum_{i=1}^3 A_{i1}$。类似地，全1列在第2列时，行列式值为 $\sum_{i=1}^3 A_{i2}$；全1列在第3列时，行列式值为 $\sum_{i=1}^3 A_{i3}$。
公式：行列式按列展开公式：$\det(C) = \sum_{i=1}^n c_{ij} A_{ij}$，其中 $A_{ij}$ 是代数余子式。
提示：注意代数余子式 $A_{ij}$ 依赖于原矩阵 $A$，而不是当前行列式中的元素。这里展开时，由于第一列全为1，且其余列与 $A$ 相同，所以代数余子式恰好是 $A$ 的代数余子式。
步骤 5/6
目标：求和得到最终表达式
将所有非零项相加：
$\det(B) = \det(A) + \sum_{j=1}^3 \sum_{i=1}^3 A_{ij}$。
已知 $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 A_{ij} = 1$，所以 $\det(B) = \det(A) + 1$。
提示：注意求和顺序：先对 $i$ 求和再对 $j$ 求和，结果与题目条件一致。
步骤 6/6
目标：给出最终答案
因此，所求行列式的值为 $1 + \det(A)$。由于 $\det(A)$ 未知，答案用 $\det(A)$ 表示。
提示：最终答案依赖于 $\det(A)$，无法进一步化简。
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