北京工业大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．设 4 阶方阵 $A$ 的秩是 $\displaystyle 3, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 是方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的三个不同的解，且满足
$$
\eta_{1}+\eta_{2}+\eta_{3}=(3,3,0,3)^{\mathrm{T}}, 2 \eta_{2}+3 \eta_{3}=(6,2,3,0)^{\mathrm{T}} .
$$
（1）证明：$\displaystyle \beta \neq 0$ ，即 $\displaystyle \beta$ 不是零向量．
（2）求方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：反设β=0并导出矛盾
假设 $\beta = 0$，则 $AX=0$ 有非零解，且 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是齐次方程组的解。由 $\eta_1+\eta_2+\eta_3=(3,3,0,3)^T$ 知，若 $\beta=0$，则 $A(\eta_1+\eta_2+\eta_3)=0$，即 $A(3,3,0,3)^T=0$。但 $A$ 的秩为3，齐次方程组基础解系含1个向量，故非零向量 $(3,3,0,3)^T$ 是解，矛盾。因此 $\beta \neq 0$。
提示：注意反证法的使用，假设β=0后，利用秩条件推出矛盾。
步骤 2/6
目标：求特解η*
由 $A\eta_i=\beta$ 得 $A(\eta_1+\eta_2+\eta_3)=3\beta$，即 $A(3,3,0,3)^T=3\beta$，故 $\beta = A(1,1,0,1)^T$，所以特解可取 $\eta^*=(1,1,0,1)^T$。
公式：$A\eta_i=\beta$
提示：注意将向量线性组合后，利用线性性质提取公因子。
步骤 3/6
目标：求另一个特解η'
由 $2\eta_2+3\eta_3=(6,2,3,0)^T$，则 $A(2\eta_2+3\eta_3)=5\beta$，即 $A(6,2,3,0)^T=5\beta$，得 $\beta = A(\frac{6}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},0)^T$，故另一特解 $\eta'=(\frac{6}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},0)^T$。
公式：$A(2\eta_2+3\eta_3)=2\beta+3\beta=5\beta$
提示：注意系数和：2+3=5，不要误算为其他值。
步骤 4/6
目标：求齐次方程的解
两特解之差 $\eta^* - \eta' = (1-\frac{6}{5}, 1-\frac{2}{5}, 0-\frac{3}{5}, 1-0)^T = (-\frac{1}{5},\frac{3}{5},-\frac{3}{5},1)^T$ 是齐次方程 $AX=0$ 的解。
公式：$A(\eta^*-\eta')=\beta-\beta=0$
提示：特解之差一定是齐次解，注意计算准确。
步骤 5/6
目标：确定齐次解空间维数
由于 $r(A)=3$，方程组 $AX=0$ 的基础解系含 $4-3=1$ 个向量，故齐次解空间是一维的。
公式：$\dim\ker(A)=n-r(A)$
提示：n=4，r=3，所以维数为1。
步骤 6/6
目标：写出通解
通解为 $X = \eta^* + k(\eta^* - \eta')$，即 $X = (1,1,0,1)^T + k(-\frac{1}{5},\frac{3}{5},-\frac{3}{5},1)^T$，$k$ 为任意常数。
公式：$X = \eta^* + k\xi$，其中$\xi$是齐次解
提示：通解形式：特解加上齐次解的线性组合，注意参数k是任意常数。
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