北京工业大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹．
（1）证明：$V$ 是欧氏空间．
（2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数．
（3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证内积的对称性
对于任意 $A, B \in V$，定义 $(A, B) = \operatorname{tr}(AB)$。由于 $A, B$ 是实对称矩阵，有 $A^T = A, B^T = B$。计算 $(B, A) = \operatorname{tr}(BA)$。利用迹的性质 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$，可得 $(A, B) = \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) = (B, A)$，因此对称性成立。
公式：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$
提示：注意对称矩阵的转置等于自身，但此处直接使用迹的循环性质即可，无需转置。
步骤 2/6
目标：验证内积的线性性
对于任意 $A, B, C \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，计算 $(kA + B, C) = \operatorname{tr}((kA + B)C) = \operatorname{tr}(kAC + BC) = k\operatorname{tr}(AC) + \operatorname{tr}(BC) = k(A, C) + (B, C)$。类似可验证对第二个变量的线性性，因此双线性成立。
公式：$\operatorname{tr}(kA + B)C = k\operatorname{tr}(AC) + \operatorname{tr}(BC)$
提示：迹是线性映射，注意分配律。
步骤 3/6
目标：验证内积的正定性
对于任意非零 $A \in V$，$A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。则 $(A, A) = \operatorname{tr}(A^2) = \operatorname{tr}(Q \operatorname{diag}(\lambda_1^2, \dots, \lambda_n^2) Q^T) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 > 0$，因为 $A \neq 0$ 时至少有一个特征值非零。因此正定性成立。
公式：$\operatorname{tr}(A^2) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2$
提示：注意 $A^2$ 的特征值是 $\lambda_i^2$，且迹等于特征值之和。
步骤 4/6
目标：证明 $W$ 是子空间
令 $W = \{ A \in V \mid \operatorname{tr}(A) = 0 \}$。对任意 $A, B \in W$，有 $\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B) = 0$，故 $A+B \in W$。对任意 $k \in \mathbb{R}$，$\operatorname{tr}(kA) = k \operatorname{tr}(A) = 0$，故 $kA \in W$。因此 $W$ 是 $V$ 的子空间。
公式：$\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$, $\operatorname{tr}(kA) = k\operatorname{tr}(A)$
提示：注意零矩阵的迹为0，故 $0 \in W$。
步骤 5/6
目标：求 $W$ 的维数
$V$ 是 $n \times n$ 实对称矩阵空间，维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。迹映射 $\operatorname{tr}: V \to \mathbb{R}$ 是线性映射，且满射（例如取对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,0,\dots,0)$ 的迹为1），故像空间维数为1。由维数定理，$\dim V = \dim \ker \operatorname{tr} + \dim \operatorname{Im} \operatorname{tr}$，即 $\frac{n(n+1)}{2} = \dim W + 1$，所以 $\dim W = \frac{n(n+1)}{2} - 1$。
公式：$\dim V = \dim \ker \operatorname{tr} + \dim \operatorname{Im} \operatorname{tr}$
提示：注意 $\operatorname{tr}$ 是线性映射，核即为 $W$。
步骤 6/6
目标：求 $W^\perp$ 的维数
在欧氏空间 $V$ 中，子空间 $W$ 的正交补 $W^\perp$ 满足 $V = W \oplus W^\perp$，且 $\dim V = \dim W + \dim W^\perp$。因此 $\dim W^\perp = \dim V - \dim W = \frac{n(n+1)}{2} - \left( \frac{n(n+1)}{2} - 1 \right) = 1$。
公式：$\dim V = \dim W + \dim W^\perp$
提示：正交补的维数公式适用于有限维欧氏空间。
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