北京科技大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）设齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+a) x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n}=0 \\
x_{1}+(2+a) x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n}=0 \\
\quad \cdots \cdots \\
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+(n+a) x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
其中 $\displaystyle n \geq 2$ ．问：$a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求其通解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程组写成矩阵形式
方程组可写为 $A\mathbf{x}=0$，其中系数矩阵
$$A = \begin{pmatrix}
1+a & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2+a & 3 & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n+a
\end{pmatrix}_{n\times n}.$$
提示：注意矩阵的行列对应关系，第i行第j列元素为j（当i≠j时）或j+a（当i=j时）。
步骤 2/6
目标：将矩阵分解为秩1矩阵与对角矩阵之和
将 $A$ 拆分为 $A = B + aI$，其中 $B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $j$，即
$$B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n
\end{pmatrix}.$$
$B$ 是秩为1的矩阵，可写为 $B = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$，其中 $\mathbf{u} = (1,1,\ldots,1)^T$，$\mathbf{v} = (1,2,\ldots,n)^T$。
公式：B = \mathbf{u}\mathbf{v}^T
提示：秩1矩阵的分解不唯一，但这里选择全1列向量和行向量(1,2,...,n)便于后续计算。
步骤 3/6
目标：计算行列式并求a使方程组有非零解
方程组有非零解当且仅当 $\det(A)=0$。利用公式 $\det(\mathbf{u}\mathbf{v}^T + aI) = a^{n-1}(a + \mathbf{v}^T\mathbf{u})$，其中 $\mathbf{v}^T\mathbf{u} = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$，所以
$$\det(A) = a^{n-1}\left(a + \frac{n(n+1)}{2}\right).$$
令 $\det(A)=0$ 得 $a=0$ 或 $a = -\frac{n(n+1)}{2}$。
公式：\det(\mathbf{u}\mathbf{v}^T + aI) = a^{n-1}(a + \mathbf{v}^T\mathbf{u})
提示：该公式成立的前提是 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是列向量，且 $\mathbf{v}^T\mathbf{u}$ 是标量。注意 $n\geq2$，否则公式需调整。
步骤 4/6
目标：讨论a=0时的通解
当 $a=0$ 时，方程组化为 $B\mathbf{x}=0$，即所有方程相同：$x_1+2x_2+\cdots+nx_n=0$。这是一个线性方程，基础解系含 $n-1$ 个向量。可取自由变量 $x_2,\ldots,x_n$，得到通解
$$\mathbf{x} = k_1\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix} + \cdots + k_{n-1}\begin{pmatrix}-n\\0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}, \quad k_1,\ldots,k_{n-1}\in\mathbb{R}.$$
提示：注意基础解系不唯一，但必须包含n-1个线性无关的解向量。这里取最简单的形式。
步骤 5/6
目标：讨论a=-n(n+1)/2时的通解
当 $a = -\frac{n(n+1)}{2}$ 时，$\det(A)=0$ 且 $a\neq0$，所以 $\mathrm{rank}(A)=n-1$。计算 $A\mathbf{u} = (B+aI)\mathbf{u} = B\mathbf{u} + a\mathbf{u}$。由于 $B\mathbf{u} = \mathbf{u}\mathbf{v}^T\mathbf{u} = \frac{n(n+1)}{2}\mathbf{u}$，所以 $A\mathbf{u} = \left(\frac{n(n+1)}{2}+a\right)\mathbf{u}=0$，因此 $\mathbf{u}$ 是一个非零解。零空间维数为1，通解为
$$\mathbf{x} = k\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}, \quad k\in\mathbb{R}.$$
公式：A\mathbf{u} = (\frac{n(n+1)}{2}+a)\mathbf{u}
提示：验证 $\mathbf{u}$ 是解的关键是计算 $A\mathbf{u}$，注意 $B\mathbf{u}$ 的结果是标量乘以 $\mathbf{u}$。
步骤 6/6
目标：总结a取其他值时的情况
当 $a\neq0$ 且 $a\neq -\frac{n(n+1)}{2}$ 时，$\det(A)\neq0$，方程组只有零解。
提示：注意 $a=0$ 和 $a=-n(n+1)/2$ 是仅有的两个使行列式为零的值。
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