北京科技大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立线性变换与矩阵的关系
设 $\sigma$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 下的矩阵为 $A$，即对任意向量 $\xi = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)X$，有 $\sigma(\xi) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)(AX)$。
公式：$\sigma(\xi) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)(AX)$
提示：注意坐标向量 $X$ 是列向量，$\xi$ 是基的线性组合。
步骤 2/7
目标：证明 $\beta_i$ 属于核空间
对每个 $i=1,\dots,n-r$，由于 $\eta_i$ 是 $AX=0$ 的解，即 $A\eta_i=0$，所以 $\sigma(\beta_i) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)(A\eta_i) = 0$，因此 $\beta_i \in \operatorname{Ker}\sigma$。从而 $L(\beta_1,\dots,\beta_{n-r}) \subseteq \operatorname{Ker}\sigma$。
公式：$A\eta_i=0$
提示：注意 $\beta_i$ 的定义：$\beta_i = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\eta_i$。
步骤 3/7
目标：任取核空间中的向量并设坐标
任取 $\xi \in \operatorname{Ker}\sigma$，设 $\xi = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)X$，其中 $X$ 是 $\xi$ 在基下的坐标列向量。
公式：$\xi = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)X$
提示：坐标表示的唯一性依赖于基的线性无关性。
步骤 4/7
目标：利用线性变换得到齐次方程组
由 $\sigma(\xi)=0$ 得 $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)(AX)=0$。由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性无关，所以 $AX=0$，即 $X$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的解。
公式：$AX=0$
提示：基的线性无关性保证坐标唯一，从而 $AX=0$。
步骤 5/7
目标：用基础解系表示解向量
因为 $\eta_1,\dots,\eta_{n-r}$ 是 $AX=0$ 的基础解系，所以存在数 $k_1,\dots,k_{n-r}$ 使得 $X = k_1\eta_1 + \cdots + k_{n-r}\eta_{n-r}$。
公式：$X = \sum_{i=1}^{n-r} k_i \eta_i$
提示：基础解系线性无关且能表示所有解。
步骤 6/7
目标：将 $\xi$ 表示为 $\beta_i$ 的线性组合
于是 $\xi = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)X = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\sum_{i=1}^{n-r} k_i\eta_i = \sum_{i=1}^{n-r} k_i \beta_i$，因此 $\xi \in L(\beta_1,\dots,\beta_{n-r})$，即 $\operatorname{Ker}\sigma \subseteq L(\beta_1,\dots,\beta_{n-r})$。
公式：$\xi = \sum_{i=1}^{n-r} k_i \beta_i$
提示：注意 $\beta_i$ 的定义代入。
步骤 7/7
目标：总结包含关系得等式
由前两步得 $L(\beta_1,\dots,\beta_{n-r}) \subseteq \operatorname{Ker}\sigma$ 且 $\operatorname{Ker}\sigma \subseteq L(\beta_1,\dots,\beta_{n-r})$，所以 $\operatorname{Ker}\sigma = L(\beta_1,\dots,\beta_{n-r})$。
提示：集合相等需证明双向包含。
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