北京科技大学 2025年高等代数第7题

假设 $f(x)$ 在有理数域上可约，则存在次数小于4的有理系数多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$，使得 $f(x) = g(x)h(x)$。由于 $f(x)$ 是首一多项式，由高斯引理，可设 $g(x)$ 和 $h(x)$ 均为首一整系数多项式。

考虑整数 $x = a_i$，则 $f(a_i) = -1$，所以 $g(a_i)h(a_i) = -1$。由于 $g(a_i)$ 和 $h(a_i)$ 都是整数，因此 $g(a_i) = \pm 1$，$h(a_i) = \mp 1$。

若 $g(x)$ 的次数为1，设为 $x - c$，则 $g(a_i) = a_i - c = \pm 1$。由于有4个不同的 $a_i$，而 $a_i - c$ 只能取两个值 $\pm 1$，由抽屉原理，存在两个不同的 $a_i$ 使得 $a_i - c$ 相等，矛盾。故 $g(x)$ 的次数不能为1。

若 $g(x)$ 的次数为2，则 $g(x)$ 在4个点 $a_i$ 上的取值只能为 $\pm 1$。由于 $g(x)$ 是二次多项式，若它在三个不同的点上取相同的值，则必为常数。但 $g(x)$ 不是常数，故 $g(x)$ 在四个点上的取值最多只能有两个1和两个-1，或者三个1一个-1等。但 $g(a_i)h(a_i) = -1$，所以 $g(a_i)$ 和 $h(a_i)$ 异号。若 $g(x)$ 在四个点上的取值有 $k$ 个1和 $4-k$ 个-1，则 $h(x)$ 对应有 $k$ 个-1和 $4-k$ 个1。但 $h(x)$ 也是二次多项式，类似地，它在四个点上的取值不能有超过两个相同的值（否则为常数）。因此 $k$ 必须为2，即 $g(a_i)$ 恰有两个1和两个-1。

设 $g(x) = x^2 + px + q$，则 $g(a_i) = \pm 1$。考虑多项式 $g(x)^2 - 1$，它在 $x = a_i$ 处为零，因此 $g(x)^2 - 1$ 有因子 $(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)$。但 $g(x)^2 - 1$ 是4次多项式，且首项系数为1，所以 $g(x)^2 - 1 = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)$。于是 $f(x) = g(x)^2 - 1 - 1 = g(x)^2 - 2$，这与 $f(x) = g(x)h(x)$ 矛盾，因为 $g(x)^2 - 2$ 不能分解为两个二次多项式的乘积（否则 $g(x)^2 - 2$ 有有理根，但 $g(x)$ 是整系数，$g(x)^2 - 2$ 的根为 $\pm \sqrt{2}$，无理数）。

因此假设不成立，$f(x)$ 在有理数域上不可约。