北京科技大学 2025年高等代数第9题
📝 题目
9．（20 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，若 $\displaystyle \alpha$ 为任意的 $n$ 维非零列向量，$\displaystyle B=A \alpha \alpha^{T}$ ．
（1）证明：$\displaystyle \left|\lambda E_{n}-B\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\alpha^{T} A \alpha\right), E_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
（2）求 $B$ 最大的特征值 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ ．
（3）求 $B$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ 的特征子空间的维数与一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用行列式公式证明特征多项式
考虑矩阵 $\lambda E_n - B = \lambda E_n - A\alpha\alpha^T$。当 $\lambda \neq 0$ 时，$\lambda E_n$ 可逆，应用行列式公式 $\det(M + uv^T) = \det(M)(1 + v^T M^{-1} u)$，其中 $M = \lambda E_n$，$u = -A\alpha$，$v^T = \alpha^T$。则
$$|\lambda E_n - A\alpha\alpha^T| = \lambda^n \det\left(E_n - \frac{1}{\lambda} A\alpha\alpha^T\right) = \lambda^n \left(1 - \frac{1}{\lambda} \alpha^T A\alpha\right) = \lambda^{n-1}(\lambda - \alpha^T A\alpha).$$
当 $\lambda = 0$ 时，左边 $|-A\alpha\alpha^T| = 0$（因为秩为1），右边 $0^{n-1}(0 - \alpha^T A\alpha) = 0$（$n-1 \geq 1$），等式成立。因此对所有 $\lambda$ 成立。
公式：$\det(M + uv^T) = \det(M)(1 + v^T M^{-1} u)$
提示：注意 $\lambda=0$ 时需单独验证，因为公式要求 $M$ 可逆。
步骤 2/4
目标：确定特征值并找出最大特征值
由 (1) 知 $B$ 的特征多项式为 $\lambda^{n-1}(\lambda - \alpha^T A\alpha)$，所以特征值为 $0$（$n-1$ 重）和 $\alpha^T A\alpha$（单重）。由于 $A$ 正定，$\alpha^T A\alpha > 0$，因此最大特征值为 $\lambda_{\max} = \alpha^T A\alpha$。
提示：正定性保证 $\alpha^T A\alpha > 0$，从而 $\alpha^T A\alpha$ 是最大特征值。
步骤 3/4
目标：求解最大特征值对应的特征向量
设 $\lambda_{\max} = \alpha^T A\alpha$，特征向量 $x$ 满足 $Bx = (\alpha^T A\alpha)x$，即 $A\alpha\alpha^T x = (\alpha^T A\alpha)x$。由于 $\alpha^T x$ 是标量，上式化为 $(\alpha^T x) A\alpha = (\alpha^T A\alpha)x$。因为 $A\alpha \neq 0$（$A$ 正定），所以 $x$ 与 $A\alpha$ 共线。设 $x = k A\alpha$，代入验证恒成立。因此所有形如 $k A\alpha$ 的向量都是特征向量，且 $k \neq 0$ 时非零。
提示：注意 $A\alpha$ 非零，否则特征子空间可能为整个空间，但这里 $A$ 正定保证 $A\alpha \neq 0$。
步骤 4/4
目标：确定特征子空间的维数和基
特征子空间由所有形如 $k A\alpha$ 的向量组成，其中 $k \in \mathbb{R}$。由于 $A\alpha \neq 0$，该子空间是一维的，一组基为 $A\alpha$。
提示：维数为1，基向量只需一个非零向量 $A\alpha$。
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