华东师范大学 2017年高等代数第7题

若 $A$ 与 $B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。计算特征多项式：$\det(\lambda I - B) = \det(\lambda I - P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(\lambda I - A)P) = \det(P^{-1})\det(\lambda I - A)\det(P) = \det(\lambda I - A)$，故特征多项式相同。

相似矩阵有相同的极小多项式，因为极小多项式是特征多项式的因子，且由Jordan标准形唯一确定。具体地，若 $B = P^{-1}AP$，则对任意多项式 $f$，有 $f(B) = P^{-1}f(A)P$，因此 $f(A)=0$ 当且仅当 $f(B)=0$，故极小多项式相同。

设 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式 $f(\lambda)$ 和极小多项式 $m(\lambda)$。由于是3阶矩阵，特征多项式次数为3，极小多项式次数不超过3。考虑特征值情况： - 若 $f(\lambda)$ 有三个不同根，则 $A$ 与 $B$ 均可对角化，且对角元相同，故相似。 - 若 $f(\lambda)$ 有重根，设特征值为 $\lambda_0$（可能还有其他特征值），则Jordan标准形由特征值和极小多项式决定。对于3阶矩阵，可能的Jordan块结构有：三个1阶块（对角矩阵）、一个2阶块和一个1阶块、一个3阶块。极小多项式 $m(\lambda)$ 决定了最大Jordan块的阶数：若 $m(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k$，则最大Jordan块大小为 $k$。

给定特征多项式 $f(\lambda)$ 和极小多项式 $m(\lambda)$，对于每个特征值，其代数重数由 $f(\lambda)$ 给出，其几何重数（即Jordan块个数）由 $f(\lambda)$ 和 $m(\lambda)$ 共同决定。对于3阶矩阵，可能的Jordan块结构只有有限种，且由这些信息唯一确定。例如，若特征值为 $\lambda_0$ 且代数重数为3，则： - 若 $m(\lambda)=\lambda-\lambda_0$，则Jordan标准形为 $\operatorname{diag}(\lambda_0,\lambda_0,\lambda_0)$； - 若 $m(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^2$，则Jordan标准形为 $J_2(\lambda_0)\oplus [\lambda_0]$； - 若 $m(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^3$，则Jordan标准形为 $J_3(\lambda_0)$。 因此 $A$ 与 $B$ 有相同的Jordan标准形，从而相似。

考虑两个4阶矩阵，特征多项式均为 $\lambda^4$，极小多项式均为 $\lambda^2$。可能的Jordan标准形有： - 两个2阶Jordan块：$J_2(0)\oplus J_2(0)$； - 一个2阶Jordan块和两个1阶Jordan块：$J_2(0)\oplus 0\oplus 0$。 这两种情况特征多项式相同（$\lambda^4$），极小多项式相同（$\lambda^2$），但Jordan标准形不同，因此不相似。 具体例子： $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ $A$ 有两个2阶Jordan块，$B$ 有一个2阶Jordan块和两个1阶Jordan块。