华东师范大学 2020年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & b \\ a & 2 / 3 & 0\end{array}\right)$ ，求所有 $\displaystyle a, b$ 的值，使得 $A$ 是幂零矩阵。（矩阵 $A$ 称为幂零矩阵是指存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ．）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解幂零矩阵的条件
矩阵 $A$ 是幂零矩阵当且仅当它的所有特征值均为0，即特征多项式为 $\lambda^3$。因此，我们需要计算 $\det(\lambda I - A)$ 并令其等于 $\lambda^3$。
提示：注意幂零矩阵的特征值全为0，但反之不一定成立（若矩阵可对角化则成立）。此处我们通过特征多项式判断。
步骤 2/7
目标：写出特征多项式并展开
计算 $\det(\lambda I - A)$：
$$
\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix}
\lambda+2 & 0 & 1 \\
-1 & \lambda-2 & -b \\
-a & -2/3 & \lambda
\end{pmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$
= (\lambda+2) \det\begin{pmatrix}
\lambda-2 & -b \\
-2/3 & \lambda
\end{pmatrix} - 0 \cdot (\cdots) + 1 \cdot \det\begin{pmatrix}
-1 & \lambda-2 \\
-a & -2/3
\end{pmatrix}.
$$
公式：行列式按行展开公式
提示：展开时注意符号：第一行第二列元素为0，其代数余子式乘以0后消失；第一行第三列元素为1，其代数余子式符号为$(-1)^{1+3}=1$。
步骤 3/7
目标：计算两个2阶子式
第一个子式：
$$
\det\begin{pmatrix}
\lambda-2 & -b \\
-2/3 & \lambda
\end{pmatrix} = (\lambda-2)\lambda - (-b)(-2/3) = \lambda(\lambda-2) - \frac{2b}{3}.
$$
第二个子式：
$$
\det\begin{pmatrix}
-1 & \lambda-2 \\
-a & -2/3
\end{pmatrix} = (-1)(-2/3) - (\lambda-2)(-a) = \frac{2}{3} + a(\lambda-2).
$$
公式：二阶行列式公式：$\det\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = ps - qr$
提示：注意符号：第二个子式中，$(-1)(-2/3)=2/3$，而$- (\lambda-2)(-a) = +a(\lambda-2)$。
步骤 4/7
目标：合并得到特征多项式
将子式代入展开式：
$$
\det(\lambda I - A) = (\lambda+2)\left(\lambda(\lambda-2) - \frac{2b}{3}\right) + \frac{2}{3} + a(\lambda-2).
$$
展开并化简：
$$
= (\lambda+2)\left(\lambda^2 - 2\lambda - \frac{2b}{3}\right) + \frac{2}{3} + a\lambda - 2a.
$$
$$
= (\lambda+2)\lambda^2 - 2\lambda(\lambda+2) - \frac{2b}{3}(\lambda+2) + \frac{2}{3} + a\lambda - 2a.
$$
$$
= \lambda^3 + 2\lambda^2 - 2\lambda^2 - 4\lambda - \frac{2b}{3}\lambda - \frac{4b}{3} + \frac{2}{3} + a\lambda - 2a.
$$
$$
= \lambda^3 + \left(-4 - \frac{2b}{3} + a\right)\lambda + \left(-\frac{4b}{3} + \frac{2}{3} - 2a\right).
$$
提示：合并同类项时注意$\lambda^2$项抵消，$\lambda$项和常数项分别合并。
步骤 5/7
目标：令特征多项式等于$\lambda^3$并建立方程组
由于$A$是幂零矩阵，特征多项式应为$\lambda^3$，即$\lambda$和常数项系数为0：
$$
\begin{cases}
-4 - \frac{2b}{3} + a = 0, \\
-\frac{4b}{3} + \frac{2}{3} - 2a = 0.
\end{cases}
$$
提示：注意特征多项式是$\lambda^3$，没有$\lambda^2$项，但我们已经消去了，所以只需令$\lambda$和常数项为0。
步骤 6/7
目标：解方程组求出$a$和$b$
由第一式得 $a = 4 + \frac{2b}{3}$，代入第二式：
$$
-\frac{4b}{3} + \frac{2}{3} - 2\left(4 + \frac{2b}{3}\right) = 0 \implies -\frac{4b}{3} + \frac{2}{3} - 8 - \frac{4b}{3} = 0 \implies -\frac{8b}{3} - \frac{22}{3} = 0.
$$
两边乘以3：$-8b - 22 = 0$，解得 $b = -\frac{11}{4}$。
代入 $a = 4 + \frac{2}{3}\left(-\frac{11}{4}\right) = 4 - \frac{11}{6} = \frac{24}{6} - \frac{11}{6} = \frac{13}{6}$。
提示：解方程时注意分数运算，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
因此，当 $a = \frac{13}{6}$，$b = -\frac{11}{4}$ 时，$A$ 是幂零矩阵。
提示：答案需化简为最简分数形式。
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