华中师范大学 2018年高等代数第8题
📝 题目
8．一个复方阵 $A$ 称为幂零矩阵，如果存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ，求 4 阶幂零方阵所有可能的 Jordan 标准形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解幂零矩阵与Jordan标准形的关系
幂零矩阵 $A$ 满足存在正整数 $k$ 使得 $A^k=0$，因此其特征值全为0。对于复方阵，Jordan标准形由Jordan块组成，每个Jordan块对应一个特征值。由于特征值全为0，所有Jordan块均为 $J_m(0)$ 形式，其中 $m$ 为块的大小。
公式：A^k=0 \Rightarrow \sigma(A)=\{0\}
提示：注意幂零矩阵的特征值必为0，但反之不真（例如非零幂零矩阵的Jordan块大小大于1）。
步骤 2/5
目标：确定Jordan块大小与矩阵阶数的关系
4阶矩阵的Jordan标准形由若干个Jordan块组成，各块大小之和为4。设Jordan块的大小分别为 $n_1, n_2, \dots, n_t$，满足 $n_1 + n_2 + \dots + n_t = 4$，且每个 $n_i \geq 1$。这些大小构成4的一个整数分拆。
公式：\sum_{i=1}^t n_i = 4, \quad n_i \geq 1
提示：分拆不考虑顺序，例如3+1与1+3视为同一种分拆。
步骤 3/5
目标：列举4的所有整数分拆
4的整数分拆有5种：
- 4
- 3+1
- 2+2
- 2+1+1
- 1+1+1+1
每种分拆对应一种Jordan块的组合。
提示：注意分拆中数字的顺序不影响Jordan标准形，但通常按降序排列。
步骤 4/5
目标：写出每种分拆对应的Jordan标准形
1. 分拆4：一个4阶Jordan块
\[
J_4(0)=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
2. 分拆3+1：一个3阶Jordan块和一个1阶Jordan块
\[
\begin{pmatrix}
J_3(0) & 0\\
0 & J_1(0)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
3. 分拆2+2：两个2阶Jordan块
\[
\begin{pmatrix}
J_2(0) & 0\\
0 & J_2(0)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
4. 分拆2+1+1：一个2阶Jordan块和两个1阶Jordan块
\[
\begin{pmatrix}
J_2(0) & 0 & 0\\
0 & J_1(0) & 0\\
0 & 0 & J_1(0)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
5. 分拆1+1+1+1：四个1阶Jordan块（即零矩阵）
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
公式：J_m(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & 0\end{pmatrix}_{m\times m}
提示：注意Jordan块中1的位置在上次对角线，且每个块对应一个特征值0。
步骤 5/5
目标：总结所有可能的Jordan标准形
因此，4阶幂零矩阵的所有可能的Jordan标准形共有5种，分别对应4的整数分拆：4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。这些标准形互不相似，且任何4阶幂零矩阵必相似于其中之一。
提示：注意不同分拆对应不同的Jordan标准形，但同一分拆内Jordan块的排列顺序不同（如交换两个2阶块的位置）视为相似，因此只考虑一种顺序。
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