华中科技大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2021 & 2022 & 2023 & 2024 & 2025 \\ 2021^{2} & 2022^{2} & 2023^{2} & 2024^{2} & 2025^{2} \\ 2021^{3} & 2022^{3} & 2023^{3} & 2024^{3} & 2025^{3} \\ 2021^{4} & 2022^{4} & 2023^{4} & 2024^{4} & 2025^{4}\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别行列式类型
观察行列式 $D$ 的结构：第一行全为1，第二行是 $2021,2022,2023,2024,2025$，第三行是它们的平方，第四行是立方，第五行是四次方。这恰好是范德蒙德行列式的转置形式，其中 $x_i = 2020+i$，$i=1,2,3,4,5$。
提示：注意范德蒙德行列式的标准形式是行递增指数，这里是行递增指数，所以是转置，但转置不改变行列式的值。
步骤 2/5
目标：应用范德蒙德行列式公式
范德蒙德行列式的值为 $\prod_{1\le i
公式：$\det\begin{pmatrix}1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1}\end{pmatrix} = \prod_{1\le i
提示：注意公式中指数是从0到n-1，这里第一行对应指数0，第二行对应指数1，等等，所以直接适用。
步骤 3/5
目标：代入具体数值
将 $x_i = 2020+i$ 代入，得 $x_j - x_i = (2020+j) - (2020+i) = j-i$。因此 $D = \prod_{1\le i
提示：注意 $j-i$ 是整数，与2020无关，简化了计算。
步骤 4/5
目标：计算乘积
列出所有 $i
提示：计算时注意不要遗漏或重复，最好按顺序列出所有因子。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，行列式 $D = 288$。
提示：最终结果是一个整数，注意检查计算是否正确。
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