华中科技大学 2025年高等代数第4题

设 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，$B_i=\begin{pmatrix} x_i & y_i \\ z_i & w_i \end{pmatrix}$，$i=1,2,3,4$。由已知条件 $|A+B_i|=|A|+|B_i|$ 得： $$\det\begin{pmatrix} a+x_i & b+y_i \\ c+z_i & d+w_i \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix} x_i & y_i \\ z_i & w_i \end{pmatrix}.$$

展开左边：$(a+x_i)(d+w_i)-(b+y_i)(c+z_i) = ad - bc + x_i w_i - y_i z_i$。 右边：$ad-bc + x_i w_i - y_i z_i$。 两边相等，消去 $ad-bc$ 和 $x_i w_i - y_i z_i$，得： $$a w_i + x_i d - b z_i - y_i c = 0.$$

将上式改写为： $$\begin{pmatrix} a & b & c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_i \\ -z_i \\ -y_i \\ x_i \end{pmatrix} = 0.$$ 令 $\mathbf{u} = (a,b,c,d)^T$，$\mathbf{v}_i = (w_i, -z_i, -y_i, x_i)^T$，则 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}_i = 0$，即 $\mathbf{v}_i$ 与 $\mathbf{u}$ 正交。

由于 $A \neq O$，故 $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$。$\mathbf{u}$ 的正交补空间是 $\mathbb{R}^4$ 中所有与 $\mathbf{u}$ 正交的向量构成的子空间，其维数为 $4-1=3$。

四个向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4$ 都属于这个三维子空间，因此它们必线性相关。即存在不全为零的系数 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$ 使得 $\sum_{i=1}^4 \lambda_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$。

由 $\sum \lambda_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$ 得： $$\sum \lambda_i w_i = 0,\quad \sum \lambda_i (-z_i)=0,\quad \sum \lambda_i (-y_i)=0,\quad \sum \lambda_i x_i = 0.$$ 即 $\sum \lambda_i x_i = 0$，$\sum \lambda_i y_i = 0$，$\sum \lambda_i z_i = 0$，$\sum \lambda_i w_i = 0$。 因此 $\sum_{i=1}^4 \lambda_i B_i = \begin{pmatrix} \sum \lambda_i x_i & \sum \lambda_i y_i \\ \sum \lambda_i z_i & \sum \lambda_i w_i \end{pmatrix} = O$，且系数不全为零，故 $B_1,B_2,B_3,B_4$ 线性相关。