南京师范大学 2012年高等代数第4题
📝 题目
4、（本题满分 20 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于 $\displaystyle a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = \lambda x$。由 $A^2 = A$ 得 $A^2 x = A x$，即 $\lambda^2 x = \lambda x$，所以 $(\lambda^2 - \lambda)x = 0$。由于 $x \neq 0$，故 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。因此 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
公式：$\lambda^2 = \lambda$
提示：注意特征向量非零，才能推出特征方程。
步骤 2/6
目标：证明可对角化
由 $A^2 = A$ 得 $A(A - I) = 0$，所以 $A$ 的极小多项式 $m(\lambda) = \lambda(\lambda - 1)$ 无重根，故 $A$ 可对角化。
公式：$A(A - I) = 0$
提示：极小多项式无重根是可对角化的充要条件。
步骤 3/6
目标：对角化形式
由于 $A$ 可对角化且特征值为 $0$ 或 $1$，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$ 是特征值 $1$ 的个数。
公式：$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：对角矩阵中 $1$ 的个数等于秩。
步骤 4/6
目标：计算迹
对等式 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 两边取迹，得 $\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = r$。由于迹在相似变换下不变，$\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A)$。
公式：$\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A)$
提示：迹是相似不变量。
步骤 5/6
目标：迹与对角线元素和
由迹的定义，$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$。因此 $\sum_{i=1}^n a_{ii} = r = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$
提示：注意 $A$ 是实矩阵，迹就是对角线元素之和。
步骤 6/6
目标：结论
综上，$A$ 的秩等于其对角线元素之和，即 $\operatorname{rank}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$。
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