南京师范大学 2012年高等代数第6题
📝 题目
6、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，令 $\displaystyle V=\{B \mid A B=B A, B$ 为实方阵 $\displaystyle \}$ 。（1）证明 $V$ 足实数域上的线性空间；（2）求 $V$ 的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明V是线性空间：验证加法封闭性
对任意 $B_1, B_2 \in V$，有 $AB_1 = B_1A$，$AB_2 = B_2A$。则 $A(B_1+B_2) = AB_1 + AB_2 = B_1A + B_2A = (B_1+B_2)A$，故 $B_1+B_2 \in V$。
提示：注意矩阵乘法分配律的使用，以及交换性条件。
步骤 2/7
目标：证明V是线性空间：验证数乘封闭性
对任意 $B \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，有 $A(kB) = k(AB) = k(BA) = (kB)A$，故 $kB \in V$。
提示：数乘与矩阵乘法可交换顺序。
步骤 3/7
目标：证明V是线性空间：验证零元和负元
零矩阵 $O$ 满足 $AO = O = OA$，故 $O \in V$。对任意 $B \in V$，其负矩阵 $-B$ 满足 $A(-B) = -AB = -BA = (-B)A$，故 $-B \in V$。
提示：零矩阵和负矩阵显然满足交换性。
步骤 4/7
目标：证明V是线性空间：说明其他运算律
加法交换律、结合律，数乘分配律等由矩阵运算性质自然成立，因此 $V$ 是实数域上的线性空间。
提示：线性空间定义需要验证八条性质，但这里只需验证封闭性、零元、负元，其余由矩阵运算保证。
步骤 5/7
目标：求V的基：设B并计算AB和BA
设 $B = (b_{ij})_{3 \times 3}$，计算 $AB$ 和 $BA$：
$$AB = \begin{pmatrix} 3b_{11}+b_{21} & 3b_{12}+b_{22} & 3b_{13}+b_{23} \\ 3b_{21}+b_{31} & 3b_{22}+b_{32} & 3b_{23}+b_{33} \\ 3b_{31} & 3b_{32} & 3b_{33} \end{pmatrix},$$
$$BA = \begin{pmatrix} 3b_{11} & b_{11}+3b_{12} & b_{12}+3b_{13} \\ 3b_{21} & b_{21}+3b_{22} & b_{22}+3b_{23} \\ 3b_{31} & b_{31}+3b_{32} & b_{32}+3b_{33} \end{pmatrix}.$$
提示：矩阵乘法要仔细，注意下标对应。
步骤 6/7
目标：求V的基：由AB=BA得到方程组
由 $AB = BA$ 对应元素相等得方程组：
1. $3b_{11}+b_{21}=3b_{11} \Rightarrow b_{21}=0$.
2. $3b_{12}+b_{22}=b_{11}+3b_{12} \Rightarrow b_{22}=b_{11}$.
3. $3b_{13}+b_{23}=b_{12}+3b_{13} \Rightarrow b_{23}=b_{12}$.
4. $3b_{21}+b_{31}=3b_{21} \Rightarrow b_{31}=0$.
5. $3b_{22}+b_{32}=b_{21}+3b_{22} \Rightarrow b_{32}=b_{21}=0$.
6. $3b_{23}+b_{33}=b_{22}+3b_{23} \Rightarrow b_{33}=b_{22}=b_{11}$.
7-9. 其余恒成立。
提示：注意每个方程对应矩阵的一个位置，不要遗漏。
步骤 7/7
目标：求V的基：写出B的一般形式并确定基
由方程组得 $b_{21}=b_{31}=b_{32}=0$，$b_{22}=b_{11}$，$b_{23}=b_{12}$，$b_{33}=b_{11}$。自由变量为 $b_{11}, b_{12}, b_{13}$。因此
$$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & b_{11} & b_{12} \\ 0 & 0 & b_{11} \end{pmatrix}.$$
$V$ 的维数为3，一组基可取：
$$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：基的选取不唯一，但必须线性无关且张成V。
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