南京师范大学 2012年高等代数第8题
📝 题目
8、（本题满分 10 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, \dot{n}$ ；（2） $\displaystyle a_{i j}<0, \quad 1 \leq i \neq j \leq n ; \quad$（3）$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0, \quad i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用行和为零得到特征值0
由条件（3）知，对每个$i$，有$\sum_{j=1}^n a_{ij}=0$。因此$A$乘以全1向量得零向量：$A\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=0$。故$0$是$A$的一个特征值，且$\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\end{pmatrix}^T$是特征向量。从而$\operatorname{rank}(A)\leq n-1$。
公式：A\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=0
提示：注意行和为零意味着全1向量是零特征值的特征向量，但矩阵不一定对称，所以不能直接说列和也为零。
步骤 2/5
目标：考虑前n-1行，证明线性无关
要证明$\operatorname{rank}(A)\geq n-1$，只需证明$A$的前$n-1$行线性无关。考虑前$n-1$行构成的矩阵$B$，即$B$是$A$的前$n-1$行。假设存在不全为零的系数$c_1,\dots,c_{n-1}$使得$\sum_{i=1}^{n-1}c_i(a_{i1},\dots,a_{in})=0$。令$c_n=0$，则对每个$j=1,\dots,n$，有$\sum_{i=1}^n c_i a_{ij}=0$。
公式：\sum_{i=1}^n c_i a_{ij}=0,\quad j=1,\dots,n
提示：引入$c_n=0$是为了统一指标，便于后续反证法。
步骤 3/5
目标：反证法证明所有c_i相等
设$c_k=\max\{c_1,\dots,c_n\}$。考虑第$k$个方程：$\sum_{i=1}^n c_i a_{ik}=0$。由于$a_{kk}>0$，$a_{ik}<0$（$i\neq k$），且$\sum_{i=1}^n a_{ik}=0$（注意：这里不能直接使用列和为零，因为条件只给出行和为零。但我们可以利用行和为零推导出$\sum_{i=1}^n a_{ik}=0$？实际上，行和为零不能推出列和为零。因此这个反证法有误，需要修正。正确的做法是考虑$A$的$n-1$阶顺序主子式。
提示：常见错误：误以为行和为零可推出列和为零。实际上，需要利用对角占优性质。
步骤 4/5
目标：利用对角占优证明前n-1阶主子式非零
考虑$A$的$n-1$阶顺序主子矩阵$A_{n-1}$，即前$n-1$行前$n-1$列。对$i=1,\dots,n-1$，由条件（3）有$a_{ii}=-\sum_{j\neq i}a_{ij}$。由于$a_{in}<0$，所以$-a_{in}>0$，因此$a_{ii}>\sum_{j=1,j\neq i}^{n-1}(-a_{ij})$，即$|a_{ii}|>\sum_{j=1,j\neq i}^{n-1}|a_{ij}|$。故$A_{n-1}$是严格对角占优矩阵，从而可逆，秩为$n-1$。
公式：a_{ii} > \sum_{j=1, j\neq i}^{n-1} (-a_{ij})
提示：严格对角占优矩阵可逆是重要结论，注意这里利用了$a_{in}<0$。
步骤 5/5
目标：得出秩为n-1
由于$A_{n-1}$可逆，其行向量线性无关，因此$A$的前$n-1$行线性无关，故$\operatorname{rank}(A)\geq n-1$。结合第一步的$\operatorname{rank}(A)\leq n-1$，得$\operatorname{rank}(A)=n-1$。
提示：注意秩的不等式：$\operatorname{rank}(A)\leq n-1$来自特征值0，$\operatorname{rank}(A)\geq n-1$来自前$n-1$行线性无关。
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