南京师范大学 2014年高等代数第3题
📝 题目
3、（本题满分 25 分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求特征多项式
计算矩阵 $A=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ 的特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{vmatrix}$$
展开得：
$$= (\lambda+1)[\lambda(\lambda-4)+3] - 2[(\lambda-4)+3] - 6[1-\lambda]$$
化简：
$$= (\lambda+1)(\lambda^2-4\lambda+3) - 2(\lambda-1) - 6(1-\lambda)$$
$$= (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda-3) - 2(\lambda-1) + 6(\lambda-1)$$
$$= (\lambda-1)[(\lambda+1)(\lambda-3)+4] = (\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+1) = (\lambda-1)^3$$
所以特征值为 $\lambda=1$（三重根）。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：计算行列式时注意符号和合并同类项，避免代数错误。
步骤 2/5
目标：确定若尔当标准形的结构
计算 $A-I$：
$$A-I = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$
行化简得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为1。
几何重数 $= 3-1=2$，代数重数为3，故若尔当块为一个2阶块和一个1阶块。
因此若尔当标准形为：
$$J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
公式：几何重数 = $n - \operatorname{rank}(A-\lambda I)$
提示：几何重数等于线性无关特征向量的个数，若小于代数重数则存在若尔当块。
步骤 3/5
目标：求特征向量
解 $(A-I)v=0$：
$$\begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
得 $x_1+x_2-3x_3=0$，基础解系：$\xi_1=(-1,1,0)^T$，$\xi_2=(3,0,1)^T$。
注意：$A-I$ 的列空间由 $(2,1,1)^T$ 张成，应选取 $v_1$ 在列空间中，例如 $v_1=(2,1,1)^T$（也是特征向量）。
公式：$(A-\lambda I)v=0$
提示：选择特征向量时，需确保后续广义特征向量方程有解，通常取列空间中的向量。
步骤 4/5
目标：求广义特征向量
解 $(A-I)v_2 = v_1$，其中 $v_1=(2,1,1)^T$：
增广矩阵：
$$\begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 & | & 2 \\ -1 & -1 & 3 & | & 1 \\ -1 & -1 & 3 & | & 1 \end{pmatrix}$$
行化简得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$，
得 $x_1+x_2-3x_3=-1$，取 $x_2=0,x_3=0$，则 $x_1=-1$，得 $v_2=(-1,0,0)^T$。
公式：$(A-\lambda I)v_2 = v_1$
提示：广义特征向量方程有解当且仅当 $v_1$ 在 $(A-\lambda I)$ 的列空间中，否则需重新选择 $v_1$。
步骤 5/5
目标：构造变换矩阵 P
取另一个特征向量 $v_3$ 与 $v_1$ 线性无关，例如 $v_3=(-1,1,0)^T$。
则 $P = (v_1, v_2, v_3) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
验证：
$$AP = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$PJ = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
相等，故 $P^{-1}AP=J$。
公式：$AP = PJ$
提示：构造 $P$ 时，列的顺序对应若尔当块的顺序，且广义特征向量放在对应特征向量之后。
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