南京师范大学 2014年高等代数第7题
📝 题目
7、（本题满分20分）设 $V$ 为有限维欧氏空间，$s$ 个单位向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 组成 $V$ 中的一个正交向量组，使得对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，都有 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s}\left(\alpha, \alpha_{i}\right)^{2}=|\alpha|^{2}$ ．证明：$\displaystyle V=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义子空间并确定维数
设 $W = L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$，即由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 张成的子空间。由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 是单位正交向量组，它们线性无关，因此 $\dim W = s$。
提示：注意正交向量组必线性无关，但需确认向量非零。
步骤 2/6
目标：构造正交投影并利用条件
对任意 $\alpha \in V$，考虑 $\alpha$ 在 $W$ 上的正交投影 $\beta = \sum_{i=1}^s (\alpha, \alpha_i) \alpha_i$。由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 是单位正交基，$\beta$ 是 $\alpha$ 在 $W$ 上的正交投影，且 $\|\beta\|^2 = \sum_{i=1}^s (\alpha, \alpha_i)^2$。
公式：$\beta = \sum_{i=1}^s (\alpha, \alpha_i) \alpha_i$
提示：投影公式仅在基为单位正交时成立。
步骤 3/6
目标：应用勾股定理
由于 $\alpha - \beta \perp W$，特别地 $\alpha - \beta \perp \beta$，由勾股定理得 $\|\alpha\|^2 = \|\beta\|^2 + \|\alpha - \beta\|^2 = \sum_{i=1}^s (\alpha, \alpha_i)^2 + \|\alpha - \beta\|^2$。
公式：$\|\alpha\|^2 = \|\beta\|^2 + \|\alpha - \beta\|^2$
提示：勾股定理要求两向量正交，这里 $\alpha-\beta$ 与 $\beta$ 正交。
步骤 4/6
目标：利用已知条件化简
已知对任意 $\alpha \in V$，有 $\sum_{i=1}^s (\alpha, \alpha_i)^2 = \|\alpha\|^2$。代入上式得 $\|\alpha\|^2 = \|\alpha\|^2 + \|\alpha - \beta\|^2$，从而 $\|\alpha - \beta\|^2 = 0$。
公式：$\sum_{i=1}^s (\alpha, \alpha_i)^2 = \|\alpha\|^2$
提示：注意条件中等式对所有 $\alpha$ 成立。
步骤 5/6
目标：推出向量相等
由 $\|\alpha - \beta\|^2 = 0$ 得 $\alpha - \beta = 0$，即 $\alpha = \beta$。因此 $\alpha \in W$。由于 $\alpha$ 是 $V$ 中任意向量，故 $V \subseteq W$。
提示：范数为零当且仅当向量为零向量。
步骤 6/6
目标：得出空间相等
显然 $W \subseteq V$，结合 $V \subseteq W$ 得 $V = W$，即 $V = L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$。
提示：注意子空间包含关系。
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