南京师范大学 2017年高等代数第3题

系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix}_{n \times n}$。计算行列式 $\det(A)$：将第2至第n行加到第1行，得 $\begin{vmatrix} a+(n-1)b & a+(n-1)b & \cdots & a+(n-1)b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix}$。提取第1行公因子 $a+(n-1)b$，得 $(a+(n-1)b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix}$。将第1行的 $-b$ 倍加到其余各行，得 $(a+(n-1)b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a-b \end{vmatrix} = (a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}$。

齐次线性方程组仅有零解当且仅当系数矩阵的行列式不为零，即 $\det(A) \neq 0$。由 $\det(A) = (a+(n-1)b)(a-b)^{n-1} \neq 0$ 得 $a+(n-1)b \neq 0$ 且 $a-b \neq 0$，即 $a \neq b$ 且 $a \neq -(n-1)b$。

齐次线性方程组有无穷多解当且仅当 $\det(A) = 0$，即 $(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1} = 0$。分两种情况： - 情况一：$a = b$。 - 情况二：$a = -(n-1)b$（此时 $a-b = -nb \neq 0$，因为 $b \neq 0$）。

当 $a = b$ 时，系数矩阵所有元素相等，秩为1。方程组化为 $a(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = 0$。由于 $a \neq 0$，得 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$。基础解系为： $\eta_1 = (1, -1, 0, \ldots, 0)^T$， $\eta_2 = (1, 0, -1, \ldots, 0)^T$， $\ldots$， $\eta_{n-1} = (1, 0, \ldots, 0, -1)^T$。 全部解为 $x = c_1 \eta_1 + c_2 \eta_2 + \cdots + c_{n-1} \eta_{n-1}$，其中 $c_1, \ldots, c_{n-1}$ 为任意常数。

当 $a = -(n-1)b$ 时，$a+(n-1)b=0$，但 $a-b = -nb \neq 0$，所以系数矩阵的秩为 $n-1$。将各方程相加得 $(a+(n-1)b)(x_1+\cdots+x_n)=0$，即 $0=0$，但实际方程组可化为 $x_1+\cdots+x_n=0$（因为秩为 $n-1$，且所有方程线性相关，但任意 $n-1$ 个方程线性无关，它们等价于 $x_1+\cdots+x_n=0$）。因此基础解系与情况一相同： $\eta_1 = (1, -1, 0, \ldots, 0)^T$， $\eta_2 = (1, 0, -1, \ldots, 0)^T$， $\ldots$， $\eta_{n-1} = (1, 0, \ldots, 0, -1)^T$。 全部解为 $x = c_1 \eta_1 + c_2 \eta_2 + \cdots + c_{n-1} \eta_{n-1}$，其中 $c_1, \ldots, c_{n-1}$ 为任意常数。

综上所述： - 当 $a \neq b$ 且 $a \neq -(n-1)b$ 时，方程组仅有零解。 - 当 $a = b$ 或 $a = -(n-1)b$ 时，方程组有无穷多解，全部解为 $x = c_1 \eta_1 + c_2 \eta_2 + \cdots + c_{n-1} \eta_{n-1}$，其中 $\eta_i$ 如上所述。