南京师范大学 2017年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 的秩为 $n$ ，正负惯性指数分别为 $\displaystyle p, q$ ，且 $\displaystyle p \geq q>0$ ．
证明：存在 $\displaystyle R^{n}$ 的 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\displaystyle \forall X_{0} \in W$ 都有 $\displaystyle f\left(X_{0}\right)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化二次型为标准形
由于二次型 $f(X)=X'AX$ 的秩为 $n$，且正负惯性指数分别为 $p, q$，满足 $p \geq q > 0$，则存在可逆线性变换 $X = PY$，使得 $f(X) = Y' (P'AP) Y = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2$，其中 $p+q=n$。
公式：f(X) = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2
提示：注意标准形中正平方项和负平方项的个数分别为 $p$ 和 $q$，且 $p+q=n$。
步骤 2/5
目标：构造 $q$ 维子空间 $W$
由于 $p \geq q$，我们可以将正平方项与负平方项配对。构造子空间 $W = \{ Y \in \mathbb{R}^n \mid y_1 = y_{p+1}, \ y_2 = y_{p+2}, \ \ldots, \ y_q = y_{p+q}, \ y_{q+1} = \cdots = y_p = 0 \}$。则 $W$ 是 $q$ 维子空间，自由变量为 $y_1, \ldots, y_q$。
提示：注意 $p \geq q$ 保证了可以配对 $q$ 对正负项，且剩余的正项（如果有）置为零。
步骤 3/5
目标：验证 $W$ 中向量使二次型为零
对于任意 $Y_0 \in W$，设 $Y_0 = (a_1, \ldots, a_q, 0, \ldots, 0, a_1, \ldots, a_q)'$，则 $f(PY_0) = a_1^2 + \cdots + a_q^2 - a_1^2 - \cdots - a_q^2 = 0$。
公式：f(PY_0) = \sum_{i=1}^q a_i^2 - \sum_{i=1}^q a_i^2 = 0
提示：注意 $Y_0$ 的构造：前 $q$ 个分量与后 $q$ 个分量对应相等，中间 $p-q$ 个分量为零。
步骤 4/5
目标：得到原空间中的子空间
由于 $P$ 可逆，$P(W)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的 $q$ 维子空间。令 $W' = P(W)$，则对于任意 $X_0 \in W'$，存在 $Y_0 \in W$ 使得 $X_0 = PY_0$，从而 $f(X_0) = f(PY_0) = 0$。
提示：可逆线性变换保持子空间的维数，因此 $W'$ 的维数也是 $q$。
步骤 5/5
目标：结论
因此，存在 $\mathbb{R}^n$ 的 $q$ 维子空间 $W'$，使得 $\forall X_0 \in W'$ 都有 $f(X_0)=0$。命题得证。
提示：注意题目要求证明存在性，构造是关键。
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