南京师范大学 2021年高等代数第2题
📝 题目
2．（20 分）设 $n$ 是大于 1 的整数，$\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在有理数域 Q 上不可约当且仅当 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是素数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将多项式表示为分式形式
设 $g(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^i = \frac{x^n-1}{x-1}$。
公式：g(x) = \frac{x^n-1}{x-1}
提示：注意 $x \neq 1$，但作为多项式恒等式成立。
步骤 2/7
目标：必要性：假设n为合数，构造分解
反证法：假设 $n$ 是合数，即 $n = ab$，其中 $a, b > 1$。则
\[ g(x) = \frac{x^{ab}-1}{x-1} = \frac{(x^a)^b-1}{x-1} = \frac{x^a-1}{x-1} \cdot \frac{(x^a)^b-1}{x^a-1} = (1+x+\cdots+x^{a-1})(1+x^a+\cdots+x^{a(b-1)}). \]
公式：x^{ab}-1 = (x^a-1)(1+x^a+\cdots+x^{a(b-1)})
提示：注意分解后两个因式的次数均大于0，且系数为整数。
步骤 3/7
目标：必要性：由分解得到矛盾
由于 $a>1$，$1+x+\cdots+x^{a-1}$ 的次数 $a-1 \ge 1$；由于 $b>1$，$1+x^a+\cdots+x^{a(b-1)}$ 的次数 $a(b-1) \ge a \ge 2$，因此 $g(x)$ 可分解为两个次数均大于0的多项式之积，且系数为整数，从而在 $\mathbb{Q}$ 上可约，与假设矛盾。故 $n$ 必为素数。
提示：注意分解得到的因式次数至少为1，且系数为整数，因此是有理数域上的非平凡分解。
步骤 4/7
目标：充分性：作变量替换，构造艾森斯坦判别法所需多项式
考虑多项式 $f(x) = g(x+1) = \frac{(x+1)^n-1}{x}$。展开得
\[ f(x) = \frac{1}{x} \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k - 1 \right) = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^{k-1} = \binom{n}{1} + \binom{n}{2} x + \cdots + \binom{n}{n-1} x^{n-2} + \binom{n}{n} x^{n-1}. \]
公式：(x+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k
提示：注意展开后常数项为 $\binom{n}{1}=n$，最高次项系数为 $\binom{n}{n}=1$。
步骤 5/7
目标：充分性：验证艾森斯坦判别法条件
由于 $n$ 是素数，对 $k=1,\dots,n-1$，$\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}$ 能被 $n$ 整除，且 $\binom{n}{n}=1$ 不能被 $n$ 整除。另外，常数项 $\binom{n}{1}=n$ 不能被 $n^2$ 整除（因为 $n$ 是素数，$n^2 \nmid n$）。因此，$f(x)$ 是首一多项式，且满足艾森斯坦判别法（取素数 $p=n$）的条件，故 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
公式：\binom{n}{k} \equiv 0 \pmod{n} \quad (1 \leq k \leq n-1)
提示：艾森斯坦判别法要求：存在素数 $p$ 使得 $p$ 整除所有低次项系数，$p$ 不整除最高次项系数，且 $p^2$ 不整除常数项。这里 $p=n$。
步骤 6/7
目标：充分性：由平移不变性得到原多项式不可约
由于平移变换保持不可约性，所以 $g(x)=f(x-1)$ 也在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
提示：注意：多项式 $p(x)$ 在域上不可约当且仅当 $p(x+c)$ 不可约，其中 $c$ 是常数。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，$g(x)$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上不可约当且仅当 $n$ 是素数。
提示：结论：$g(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约 $\iff$ $n$ 是素数。
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