南京师范大学 2021年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）设 $F$ 为一数域，令 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)=A \alpha, \forall \alpha \in F^{3}$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
求 $\displaystyle F^{3}$ 上线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的所有不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算特征多项式与特征值
矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix}\lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda-2\end{pmatrix} = (\lambda-2)^3$，因此特征值为 $2$，代数重数为 $3$。
公式：\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)^3
提示：注意特征多项式是 $\det(\lambda I - A)$，不要写成 $\det(A-\lambda I)$，虽然只差一个符号，但习惯上使用前者。
步骤 2/6
目标：计算 $(A-2I)$ 及其幂次
计算 $A-2I = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，$(A-2I)^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，$(A-2I)^3 = 0$。
公式：A-2I = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}
提示：注意 $(A-2I)^2$ 只有右上角元素为1，其余为0。
步骤 3/6
目标：确定 Jordan 标准形与循环向量
由于 $(A-2I)^2 \neq 0$ 但 $(A-2I)^3=0$，且 $\operatorname{rank}(A-2I)=2$，$\operatorname{rank}((A-2I)^2)=1$，所以 Jordan 标准形是一个 $3$ 阶 Jordan 块 $J_3(2)$。取 $e_1=(1,0,0)^T$，则 $e_1$ 是循环向量，因为 $e_1, (A-2I)e_1=e_2, (A-2I)^2e_1=e_3$ 线性无关。
提示：循环向量的选取不唯一，但通常取标准基 $e_1$ 即可。
步骤 4/6
目标：利用多项式模理论求不变子空间
线性变换 $\mathcal{A}$ 的不变子空间与 $F[x]$-模 $F[x]/((x-2)^3)$ 的子模一一对应。该模的所有子模由 $(x-2)^k$ 生成，$k=0,1,2,3$。对应到 $F^3$ 上，子空间为：$k=3$ 对应 $\{0\}$；$k=2$ 对应 $\operatorname{span}\{e_3\}$（因为 $(A-2I)^2$ 的核为 $\operatorname{span}\{e_3\}$）；$k=1$ 对应 $\operatorname{span}\{e_2,e_3\}$（因为 $(A-2I)$ 的核为 $\operatorname{span}\{e_2,e_3\}$）；$k=0$ 对应全空间 $F^3$。
提示：注意子模与不变子空间的对应关系：$(x-2)^k$ 对应 $\ker((A-2I)^k)$。
步骤 5/6
目标：验证其他可能的子空间
检查由单个向量生成的子空间：$\operatorname{span}\{e_1\}$ 不是不变子空间，因为 $\mathcal{A}e_1=2e_1+e_2$ 不在其中；$\operatorname{span}\{e_2\}$ 不是，因为 $\mathcal{A}e_2=2e_2+e_3$ 不在其中；$\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$ 不是，因为 $\mathcal{A}e_2=2e_2+e_3$ 不在其中。因此只有上述四个子空间。
提示：验证不变性时，只需检查生成元在变换下的像是否仍在子空间内。
步骤 6/6
目标：总结所有不变子空间
因此，$F^3$ 上线性变换 $\mathcal{A}$ 的所有不变子空间为：$\{0\}$、$\operatorname{span}\{e_3\}$、$\operatorname{span}\{e_2,e_3\}$ 和 $F^3$。
提示：注意 $\operatorname{span}\{e_3\}$ 是一维子空间，$\operatorname{span}\{e_2,e_3\}$ 是二维子空间。
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