南昌大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．（15分）已知 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 都是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵，且满足
$$
A B=B A=O, r(A)=r\left(A^{2}\right) .
$$
证明：$\displaystyle r(A+B)=r(A)+r(B)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由秩条件推出核与像的交为零
由 $r(A)=r(A^2)$ 及秩-零化度定理，$\dim\operatorname{Ker}(A)=n-r(A)=n-r(A^2)=\dim\operatorname{Ker}(A^2)$，且 $\operatorname{Ker}(A)\subseteq\operatorname{Ker}(A^2)$，故 $\operatorname{Ker}(A)=\operatorname{Ker}(A^2)$。任取 $x\in\operatorname{Im}(A)\cap\operatorname{Ker}(A)$，则存在 $y$ 使 $x=Ay$，且 $Ax=0$，即 $A^2y=0$，故 $y\in\operatorname{Ker}(A^2)=\operatorname{Ker}(A)$，于是 $x=Ay=0$。因此 $\operatorname{Im}(A)\cap\operatorname{Ker}(A)=\{0\}$。
公式：r(A)=r(A^2) \Rightarrow \operatorname{Ker}(A)=\operatorname{Ker}(A^2)
提示：注意秩-零化度定理的应用，以及核包含关系的推导。
步骤 2/5
目标：由AB=O和BA=O得到像的包含关系
由 $AB=O$ 知，对任意 $y$，$A(By)=0$，故 $\operatorname{Im}(B)\subseteq\operatorname{Ker}(A)$。同理，由 $BA=O$ 得 $\operatorname{Im}(A)\subseteq\operatorname{Ker}(B)$。
公式：AB=O \Rightarrow \operatorname{Im}(B)\subseteq\operatorname{Ker}(A)
提示：注意矩阵乘积为零意味着一个矩阵的像包含在另一个矩阵的核中。
步骤 3/5
目标：证明Im(A+B)等于Im(A)与Im(B)的和
首先，$\operatorname{Im}(A+B)\subseteq\operatorname{Im}(A)+\operatorname{Im}(B)$ 显然。反之，任取 $u\in\operatorname{Im}(A)$，$v\in\operatorname{Im}(B)$，则存在 $x,y$ 使 $u=Ax$，$v=By$。由于 $\operatorname{Im}(B)\subseteq\operatorname{Ker}(A)$，有 $Av=0$；同理 $Bu=0$。令 $z=x+y$，则 $(A+B)z=Ax+Ay+Bx+By=u+0+0+v=u+v$，故 $u+v\in\operatorname{Im}(A+B)$。因此 $\operatorname{Im}(A)+\operatorname{Im}(B)\subseteq\operatorname{Im}(A+B)$，从而相等。
公式：\operatorname{Im}(A+B)=\operatorname{Im}(A)+\operatorname{Im}(B)
提示：构造 $z=x+y$ 是关键，注意利用包含关系消去交叉项。
步骤 4/5
目标：证明和为直和
设 $w\in\operatorname{Im}(A)\cap\operatorname{Im}(B)$，则存在 $x,y$ 使 $w=Ax=By$。由 $\operatorname{Im}(B)\subseteq\operatorname{Ker}(A)$ 得 $Aw=A(By)=0$，即 $A(Ax)=0$，故 $A^2x=0$，从而 $x\in\operatorname{Ker}(A^2)=\operatorname{Ker}(A)$，于是 $w=Ax=0$。所以交为零，故和为直和：$\operatorname{Im}(A+B)=\operatorname{Im}(A)\oplus\operatorname{Im}(B)$。
公式：\operatorname{Im}(A)\cap\operatorname{Im}(B)=\{0\}
提示：利用第一步的结论 $\operatorname{Ker}(A)=\operatorname{Ker}(A^2)$ 推导 $x\in\operatorname{Ker}(A)$。
步骤 5/5
目标：计算秩并得出结论
由直和性质，$\dim\operatorname{Im}(A+B)=\dim\operatorname{Im}(A)+\dim\operatorname{Im}(B)$，即 $r(A+B)=r(A)+r(B)$。
公式：r(A+B)=r(A)+r(B)
提示：直和的维数等于各子空间维数之和。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。