厦门大学 2021年高等代数第1题
📝 题目
1．填空题
（1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足
$$
\sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} .
$$
则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式．
（8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算行列式 det(A+B)
已知 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, $B=(\beta_1,\alpha_2,\alpha_3)$，则 $A+B=(\alpha_1+\beta_1, 2\alpha_2, 2\alpha_3)$。由行列式的多重线性性，
$$\det(A+B)=\det(\alpha_1+\beta_1, 2\alpha_2, 2\alpha_3)=2\cdot2\cdot\det(\alpha_1+\beta_1, \alpha_2, \alpha_3)=4[\det(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)+\det(\beta_1,\alpha_2,\alpha_3)]=4(a+b).$$
公式：行列式的多重线性性
提示：注意提取公因子时，每列提取一个因子2，共两列，所以系数为4。
步骤 2/8
目标：求分块矩阵的逆
设 $M=\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $A,B$ 可逆。设 $M^{-1}=\begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，则 $MM^{-1}=I$，即
$$\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} AZ & AW \\ BX & BY \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_n & O \\ O & I_n \end{pmatrix}.$$
解得 $AZ=I_n \Rightarrow Z=A^{-1}$，$AW=O \Rightarrow W=O$，$BX=O \Rightarrow X=O$，$BY=I_n \Rightarrow Y=B^{-1}$。因此
$$M^{-1}=\begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}.$$
公式：分块矩阵乘法
提示：注意分块矩阵乘法时，子块相乘顺序不能颠倒。
步骤 3/8
目标：求矩阵A的秩
$A,B$ 为2阶非零矩阵，且 $AB=O$。若 $A$ 可逆，则 $B=A^{-1}O=O$，矛盾。故 $A$ 不可逆，$r(A)\le1$。又 $A$ 非零，$r(A)\ge1$，所以 $r(A)=1$。
公式：秩的不等式
提示：注意非零矩阵的秩至少为1。
步骤 4/8
目标：求反称矩阵空间的维数与基
数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵满足 $A^T=-A$，主对角元为0，且 $a_{ij}=-a_{ji}$。维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。基为矩阵 $E_{ij}-E_{ji}$，其中 $1\le i
公式：反称矩阵定义
提示：注意主对角元必须为0，且独立元素个数为组合数C(n,2)。
步骤 5/8
目标：求线性变换在基下的矩阵
基为 $\varepsilon_1=\binom{1}{0}$，$\varepsilon_2=\binom{1}{1}$。计算
$$\sigma(\varepsilon_1)=\sigma\binom{1}{0}=\binom{2}{1}=2\varepsilon_1+1\varepsilon_2,$$
$$\sigma(\varepsilon_2)=\sigma\binom{1}{1}=\binom{3}{3}=0\varepsilon_1+3\varepsilon_2.$$
故矩阵为 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：线性变换的矩阵表示
提示：注意将像用基线性表示时，系数按列排列。
步骤 6/8
目标：求非齐次线性方程组的通解
$r(A)=n-1$，则齐次方程 $AX=0$ 的基础解系含 $n-(n-1)=1$ 个向量。$X_1,X_2$ 为 $AX=\beta$ 的两个不同解，则 $X_1-X_2$ 是齐次解。通解为 $X_1+k(X_1-X_2)$，$k\in F$。
公式：非齐次线性方程组解的结构
提示：注意两个不同解的差是齐次解，通解中特解可以任选一个。
步骤 7/8
目标：求根的倒数为根的多项式
设 $f(x)=x^4-2x^3+3x^2+x+7$，则根的倒数为根的多项式为 $x^4 f(1/x)=1-2x+3x^2+x^3+7x^4$，即 $7x^4+x^3+3x^2-2x+1$。
公式：多项式根的倒数变换
提示：注意多项式次数为4，变换后仍为4次。
步骤 8/8
目标：求Jordan标准型
特征多项式 $f(\lambda)=\lambda^3(\lambda-1)^3$，极小多项式 $m(\lambda)=\lambda^2(\lambda-1)$。特征值0的代数重数3，几何重数由极小多项式知最大Jordan块大小为2，故0的Jordan块为 $J_2(0)$ 和 $J_1(0)$。特征值1的代数重数3，极小多项式一次，故Jordan块均为1阶，即三个 $J_1(1)$。因此Jordan标准型为 $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0), J_1(1), J_1(1), J_1(1))$。
公式：Jordan标准型与极小多项式的关系
提示：注意极小多项式中因子的指数决定最大Jordan块的大小。
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