合肥工业大学 2025年高等代数第3题

方程组为： \[ \begin{cases} a x_1 + b x_2 + \cdots + b x_n = 0 \\ b x_1 + a x_2 + \cdots + b x_n = 0 \\ \cdots \\ b x_1 + b x_2 + \cdots + a x_n = 0 \end{cases} \] 系数矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix}_{n \times n} \]

计算行列式 \(\det(A)\)。将第2至第n行加到第1行，得第1行全为 \(a + (n-1)b\)，提取公因子后，再化为上三角行列式，得到： \[ \det(A) = (a - b)^{n-1}[a + (n-1)b] \]

齐次方程组仅有零解当且仅当系数矩阵的行列式不为零，即： \[ \det(A) \neq 0 \iff (a - b)^{n-1}[a + (n-1)b] \neq 0 \] 由于 \(a, b \neq 0\)，且 \(n \geq 2\)，条件为： \[ a \neq b \quad \text{且} \quad a + (n-1)b \neq 0 \]

方程组有非零解当且仅当 \(\det(A) = 0\)，即： \[ (a - b)^{n-1}[a + (n-1)b] = 0 \] 分两种情况： 1. \(a = b\)（此时 \(a, b \neq 0\)） 2. \(a + (n-1)b = 0\)（此时 \(a \neq b\)，否则 \(a=b=0\) 矛盾）

当 \(a = b\) 时，系数矩阵所有元素均为a，秩为1。方程组化为： \[ a(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \] 通解为： \[ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix} + \cdots + k_{n-1} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ -1\end{pmatrix}, \quad k_1, \ldots, k_{n-1} \in \mathbb{R} \] 基础解系有 \(n-1\) 个向量。

当 \(a + (n-1)b = 0\) 时，\(a = -(n-1)b\)，且 \(b \neq 0\)。系数矩阵的秩为 \(n-1\)（因为 \(a \neq b\) 时 \(a-b \neq 0\)，但行列式为零）。方程组等价于所有方程相加得： \[ [a + (n-1)b](x_1 + \cdots + x_n) = 0 \Rightarrow 0 = 0 \] 实际上，任意一个方程可由其余方程线性表示。解空间维数为1，通解为： \[ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = k \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R} \] 因为代入任意方程得 \(a + (n-1)b = 0\) 满足。