哈尔滨工业大学 2012年高等代数第4题
📝 题目
4．$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是一实二次型，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根，且 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。
（1）证明：对任一 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，都有 $\displaystyle \lambda_{1} \leq f(X) \leq \lambda_{n}$ ；
（2）证明：存在 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，使得 $\displaystyle f(X)=\lambda_{n}$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用正交变换化简二次型
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。令 $Y = Q^T X$，则 $|Y| = |X| = 1$，且 $f(X) = X^T A X = Y^T \Lambda Y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$。
公式：Q^T A Q = \Lambda, \quad Y = Q^T X
提示：注意正交变换保持向量长度不变，即 $|Y| = |X|$。
步骤 2/3
目标：利用特征值范围进行不等式估计
由于 $\sum_{i=1}^n y_i^2 = 1$，且 $\lambda_1 \leq \lambda_i \leq \lambda_n$，有 $\lambda_1 = \lambda_1 \sum y_i^2 \leq \sum \lambda_i y_i^2 \leq \lambda_n \sum y_i^2 = \lambda_n$，即 $\lambda_1 \leq f(X) \leq \lambda_n$。
公式：\lambda_1 \sum y_i^2 \leq \sum \lambda_i y_i^2 \leq \lambda_n \sum y_i^2
提示：注意 $y_i^2 \geq 0$，因此不等式方向正确。
步骤 3/3
目标：证明上界可达性
取 $X$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda_n$ 的单位特征向量，即 $AX = \lambda_n X$ 且 $|X| = 1$，则 $f(X) = X^T A X = \lambda_n X^T X = \lambda_n$。
公式：AX = \lambda_n X, \quad f(X) = \lambda_n
提示：确保特征向量是单位向量，否则需归一化。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。