哈尔滨工业大学 2014年高等代数第1题
📝 题目
1．设多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明对于任意正整数 $\displaystyle m, n$ ，都有
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\left(f^{m}(x) g^{n}(x), f^{m}(x)+g^{n}(x)\right)=1
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设出最大公因式
设 $d(x) = (f^m(x) g^n(x), f^m(x) + g^n(x))$。要证 $d(x)=1$，即证 $d(x)$ 是非零常数多项式。
提示：注意最大公因式通常首项系数为1，但常数非零即可。
步骤 2/7
目标：利用互素条件
由于 $(f(x), g(x)) = 1$，存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。
公式：u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1
提示：这是互素的充要条件，注意多项式系数在数域中。
步骤 3/7
目标：分析d(x)的因子
因为 $d(x) \mid f^m(x)g^n(x)$，所以 $d(x)$ 的每个不可约因子必整除 $f(x)$ 或 $g(x)$。
提示：不可约多项式整除乘积则必整除某个因子。
步骤 4/7
目标：反证法假设
假设存在不可约多项式 $p(x)$ 使得 $p(x) \mid d(x)$，则 $p(x) \mid f^m(x)g^n(x)$，故 $p(x) \mid f(x)$ 或 $p(x) \mid g(x)$。
提示：注意 $p(x)$ 是不可约的，且次数至少为1。
步骤 5/7
目标：情形一：p(x)整除f(x)
若 $p(x) \mid f(x)$，则 $p(x) \mid f^m(x)$。又 $p(x) \mid d(x) \mid (f^m(x) + g^n(x))$，所以 $p(x) \mid g^n(x)$，从而 $p(x) \mid g(x)$。这与 $(f(x), g(x))=1$ 矛盾。
提示：注意 $p(x)$ 整除和式，且整除 $f^m(x)$，则必整除 $g^n(x)$。
步骤 6/7
目标：情形二：p(x)整除g(x)
若 $p(x) \mid g(x)$，类似可得 $p(x) \mid f(x)$，同样矛盾。
提示：对称性，推导过程类似。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，$d(x)$ 没有不可约因子，故 $d(x)$ 是非零常数，即 $(f^m(x)g^n(x), f^m(x)+g^n(x)) = 1$。
提示：注意常数多项式与1互素，但最大公因式通常取首一多项式，常数1即为单位元。
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