哈尔滨工业大学 2014年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), C(A)=\left\{B \in P^{3 \times 3} \mid A B=B A, B \in P^{3 \times 3}\right\}$ 。
（1）证明：$\displaystyle C(A)$ 构成 $\displaystyle P^{3 \times 3}$ 的一个子空间；
（2）求 $\displaystyle C(A)$ 的经数和一组基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：验证零矩阵属于C(A)
零矩阵 $O$ 满足 $AO = O = OA$，因此 $O \in C(A)$，故 $C(A)$ 非空。
提示：注意子空间非空性需验证零矩阵属于该集合。
步骤 2/8
目标：验证加法封闭性
对任意 $B_1, B_2 \in C(A)$，有 $AB_1 = B_1A$，$AB_2 = B_2A$。则 $A(B_1+B_2) = AB_1 + AB_2 = B_1A + B_2A = (B_1+B_2)A$，所以 $B_1+B_2 \in C(A)$。
公式：A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2
提示：注意矩阵乘法分配律的使用。
步骤 3/8
目标：验证数乘封闭性
对任意 $B \in C(A)$ 和 $k \in P$，有 $A(kB) = k(AB) = k(BA) = (kB)A$，所以 $kB \in C(A)$。
公式：A(kB)=k(AB)
提示：数乘与矩阵乘法可交换顺序。
步骤 4/8
目标：总结子空间证明
由以上三点，$C(A)$ 是 $P^{3\times 3}$ 的子空间。
提示：子空间判定需验证非空、加法封闭、数乘封闭。
步骤 5/8
目标：建立矩阵方程AB=BA
设 $B = (b_{ij})_{3\times 3}$，由 $AB=BA$ 得：
$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$$
公式：AB=BA
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘与右乘不同。
步骤 6/8
目标：计算矩阵乘积并比较
左边 = $\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\2b_{31}&2b_{32}&2b_{33}\end{pmatrix}$，右边 = $\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&2b_{13}\\b_{21}&b_{22}&2b_{23}\\b_{31}&b_{32}&2b_{33}\end{pmatrix}$。对应元素相等得方程组：
$$\begin{cases}b_{13}=2b_{13}\\b_{23}=2b_{23}\\2b_{31}=b_{31}\\2b_{32}=b_{32}\\2b_{33}=2b_{33}\end{cases}$$
提示：注意比较时每个位置对应相等，得到关于b_{ij}的方程。
步骤 7/8
目标：解方程组得到B的形式
由 $b_{13}=2b_{13}$ 得 $b_{13}=0$；由 $b_{23}=2b_{23}$ 得 $b_{23}=0$；由 $2b_{31}=b_{31}$ 得 $b_{31}=0$；由 $2b_{32}=b_{32}$ 得 $b_{32}=0$；$2b_{33}=2b_{33}$ 恒成立。其余元素自由。所以 $B = \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&0\\b_{21}&b_{22}&0\\0&0&b_{33}\end{pmatrix}$，其中 $b_{11},b_{12},b_{21},b_{22},b_{33}\in P$。
提示：注意解方程时，形如 $x=2x$ 的解为 $x=0$。
步骤 8/8
目标：求维数和一组基
自由变量有5个：$b_{11},b_{12},b_{21},b_{22},b_{33}$，故维数为5。一组基可取：
$$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},\ E_{33}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
提示：基的选取不唯一，但必须线性无关且张成整个空间。
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