哈尔滨工业大学 2022年高等代数第2题
📝 题目
2．已知多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}\end{array}\right)$ ．
（1）证明：$A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, f(\lambda)$ ；
（2）证明：$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出特征矩阵
矩阵 $A$ 是多项式 $f(\lambda)=\lambda^n + a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n$ 的友矩阵。特征矩阵为 $\lambda I - A$，即
$$
\lambda I - A = \begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_n \\
-1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} \\
0 & -1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & a_2 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda + a_1
\end{pmatrix}.
$$
提示：注意友矩阵的形式，特征矩阵中最后一列元素符号为正。
步骤 2/7
目标：行变换消去左下角元素
将第1行乘以 $\lambda$ 加到第2行，第2行乘以 $\lambda$ 加到第3行，依此类推，直到第 $n-1$ 行乘以 $\lambda$ 加到第 $n$ 行。这样，第1列除 $(1,1)$ 元外全变为0，且最后一列元素发生变化。得到矩阵
$$
\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_n \\
0 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} + \lambda a_n \\
0 & -1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{n-2} + \lambda a_{n-1} + \lambda^2 a_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & * \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & f(\lambda)
\end{pmatrix},
$$
其中 $*$ 表示某个多项式，最后一行最后一列元素变为 $f(\lambda)$。
提示：行变换时注意顺序，每次将上一行乘以 $\lambda$ 加到下一行，确保左下角元素被消去。
步骤 3/7
目标：继续行变换得到上三角形式
重复类似的行变换：将第2行乘以 $\lambda$ 加到第3行，第3行乘以 $\lambda$ 加到第4行，等等，直到第 $n-1$ 行乘以 $\lambda$ 加到第 $n$ 行。最终，除了最后一列外，矩阵变为对角形式，且最后一列除最后一个元素外均为0。得到矩阵
$$
\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_n \\
0 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} + \lambda a_n \\
0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 & a_{n-2} + \lambda a_{n-1} + \lambda^2 a_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & * \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & f(\lambda)
\end{pmatrix}.
$$
提示：注意每次行变换后，最后一列的元素会累加，最终得到 $f(\lambda)$。
步骤 4/7
目标：列变换消去最后一列的非对角元
利用最后一列中的 $f(\lambda)$ 元素，通过列变换消去前 $n-1$ 列中的非零元素。具体地，将最后一列乘以适当的多项式加到前 $n-1$ 列，可以消去这些列中的非零元素。由于 $f(\lambda)$ 与 $\lambda$ 互素（除非有公因子，但此处 $f(\lambda)$ 是首一多项式，与 $\lambda$ 不一定互素，但通过初等变换仍可化为Smith标准型），实际上我们可以通过行和列的初等变换将矩阵化为对角形。最终得到Smith标准型
$$
\operatorname{diag}(1, 1, \dots, 1, f(\lambda)).
$$
提示：注意Smith标准型要求对角元满足整除关系，这里前 $n-1$ 个为1，最后一个为 $f(\lambda)$。
步骤 5/7
目标：得出不变因子
由Smith标准型可知，$\lambda I - A$ 的不变因子为 $1, 1, \dots, 1, f(\lambda)$，共 $n$ 个，其中前 $n-1$ 个为1，最后一个为 $f(\lambda)$。
提示：不变因子是Smith标准型对角线上非零的多项式，按整除顺序排列。
步骤 6/7
目标：证明可对角化的必要性
若 $A$ 可对角化，则 $A$ 的最小多项式无重根。由于 $A$ 的最后一个不变因子是 $f(\lambda)$，且 $f(\lambda)$ 是 $A$ 的特征多项式，也是最小多项式（因为不变因子中前 $n-1$ 个为1，最后一个为 $f(\lambda)$，所以最小多项式等于特征多项式）。因此，$f(\lambda)$ 无重根，即 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值。
提示：注意：可对角化等价于最小多项式无重根。
步骤 7/7
目标：证明可对角化的充分性
若 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $f(\lambda)$ 无重根。由于 $f(\lambda)$ 是 $A$ 的最小多项式，且无重根，故 $A$ 可对角化。
提示：充分性直接由最小多项式无重根推出可对角化。
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