哈尔滨工业大学 2022年高等代数第4题
📝 题目
4．已知 $n$ 维向量
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \cdots, \alpha_{n}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{array}\right) .
$$
考察方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{n} \alpha_{n}=\beta$ ．
（1）$\displaystyle \beta$ 满足什么条件时，方程组有解？并求解．
（2）若方程组的解构成线性空间，求 $\displaystyle \beta$ 需满足的条件和该线性空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将向量方程转化为线性方程组
将向量方程 $x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=\beta$ 按分量展开，得到 $n$ 个方程：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 = a_1 \\
x_2 - x_3 = a_2 \\
\vdots \\
x_{n-1} - x_n = a_{n-1} \\
-x_1 + x_n = a_n
\end{cases}
\]
提示：注意最后一个方程是 $-x_1+x_n=a_n$，不要漏掉负号。
步骤 2/5
目标：推导方程组有解的充要条件
将前 $n-1$ 个方程相加得：
\[
x_1 - x_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}.
\]
将此式与第 $n$ 个方程 $-x_1 + x_n = a_n$ 相加得：
\[
0 = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n.
\]
因此方程组有解的充要条件是 $\sum_{i=1}^n a_i = 0$。
公式：$\sum_{i=1}^n a_i = 0$
提示：注意相加时左右两边要对应，不要遗漏项。
步骤 3/5
目标：求解方程组（有解时）
当 $\sum a_i=0$ 时，方程组有解。取 $x_n = t$ 为自由变量，从倒数第二个方程开始回代：
\[
x_{n-1} = t + a_{n-1},\quad x_{n-2} = t + a_{n-1}+a_{n-2},\quad \ldots,\quad x_1 = t + a_{n-1}+\cdots+a_1.
\]
写成向量形式：
\[
\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_1+\cdots+a_{n-1}\\a_2+\cdots+a_{n-1}\\\vdots\\a_{n-1}\\0\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
\]
提示：回代时注意下标顺序，从 $x_{n-1}$ 开始依次向前。
步骤 4/5
目标：判断解集构成线性空间的条件
解集构成线性空间当且仅当解集对线性运算封闭，即解集是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。由于解集是仿射直线，它构成子空间当且仅当该直线过原点，即存在 $t$ 使得特解为零向量。特解为零向量要求：
\[
a_1+\cdots+a_{n-1}=0,\quad a_2+\cdots+a_{n-1}=0,\quad \ldots,\quad a_{n-1}=0.
\]
由此推出 $a_1=a_2=\cdots=a_{n-1}=0$，结合 $\sum a_i=0$ 得 $a_n=0$。故 $\beta=0$。
提示：注意特解为零向量意味着所有分量均为0，由此得到一系列等式。
步骤 5/5
目标：给出解空间的具体形式
当 $\beta=0$ 时，方程组变为齐次方程组，解为 $x_1=x_2=\cdots=x_n=t$，即解空间为：
\[
L = \operatorname{span}\{(1,1,\ldots,1)^T\}.
\]
这是一维线性空间。
提示：齐次方程组的解空间就是齐次方程组的解集，即所有形如 $t(1,\ldots,1)^T$ 的向量。
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