哈尔滨工程大学 2013年高等代数第9题
📝 题目
9．设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle -1,-2,-2$ ，则 $\displaystyle \left|\left(\frac{1}{2} A\right)^{*}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算矩阵A的行列式
已知3阶方阵$A$的特征值为$-1,-2,-2$，则$A$的行列式等于所有特征值的乘积：$|A| = (-1) \times (-2) \times (-2) = -4$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意特征值乘积的符号，负负得正再乘负得负。
步骤 2/5
目标：计算矩阵(1/2)A的行列式
对于数乘矩阵，有$|\frac{1}{2}A| = (\frac{1}{2})^3 |A| = \frac{1}{8} \times (-4) = -\frac{1}{2}$。
公式：$|kA| = k^n |A|$
提示：注意阶数n=3，不要漏掉指数。
步骤 3/5
目标：利用伴随矩阵的性质化简
对于可逆矩阵$B$，有$B^* = |B| B^{-1}$。令$B = \frac{1}{2}A$，则$B^* = |B| B^{-1} = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}A)^{-1}$。而$(\frac{1}{2}A)^{-1} = 2A^{-1}$，所以$B^* = -\frac{1}{2} \cdot 2A^{-1} = -A^{-1}$。
公式：$B^* = |B| B^{-1}$
提示：注意逆矩阵的运算：$(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$。
步骤 4/5
目标：计算伴随矩阵的行列式
由$B^* = -A^{-1}$，得$|B^*| = |-A^{-1}| = (-1)^3 |A^{-1}| = -|A^{-1}|$。而$|A^{-1}| = |A|^{-1} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$，所以$|B^*| = -(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$。
公式：$|A^{-1}| = |A|^{-1}$，$|kA| = k^n |A|$
提示：注意$(-1)^3 = -1$，不要忘记负号。
步骤 5/5
目标：直接利用公式验证
也可直接使用公式：对$n$阶可逆矩阵$B$，$|B^*| = |B|^{n-1}$。这里$n=3$，$|B| = -\frac{1}{2}$，所以$|B^*| = (-\frac{1}{2})^{3-1} = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
公式：$|B^*| = |B|^{n-1}$
提示：公式适用于可逆矩阵，且注意指数是$n-1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。