哈尔滨工程大学 2015年高等代数第9题
📝 题目
9．若 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正交阵，且 $\displaystyle |A B|=-1$ ，则 $\displaystyle |A+B|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用正交矩阵性质化简行列式
由于 $A$ 是正交矩阵，有 $A^T A = I$，且 $|A| = \pm 1$。将 $|A+B|$ 乘以 $|A|$ 得 $|A||A+B| = |A^T||A+B| = |A^T(A+B)| = |I + A^T B|$。令 $C = A^T B$，则 $C$ 也是正交矩阵，且 $|C| = |A^T||B| = |A||B| = -1$。问题转化为求 $|I+C|$。
公式：|A+B| = |A||A+B| = |I + A^T B|
提示：注意 $|A| = \pm 1$，且 $A^T = A^{-1}$，所以 $|A|$ 可以乘进去。
步骤 2/4
目标：分析正交矩阵 $C$ 的特征值
正交矩阵 $C$ 的特征值模长为1，实特征值只能是 $\pm 1$，复特征值成对出现 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$。由于 $|C| = -1$，特征值乘积为 $-1$，所以 $-1$ 的个数为奇数（因为 $1$ 的乘积为 $1$，成对复特征值乘积为 $1$）。
公式：|C| = \prod \lambda_i = -1
提示：注意复特征值成对出现且乘积为1，所以决定符号的是实特征值 $-1$ 的个数。
步骤 3/4
目标：计算 $|I+C|$ 的特征值乘积
$I+C$ 的特征值为 $1+\lambda$，其中 $\lambda$ 是 $C$ 的特征值。因此 $|I+C| = \prod_{\lambda \in \sigma(C)} (1+\lambda)$。对于成对复特征值 $e^{i\theta}, e^{-i\theta}$，有 $(1+e^{i\theta})(1+e^{-i\theta}) = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2(\theta/2) \ge 0$。对于实特征值 $1$，贡献 $2$；对于实特征值 $-1$，贡献 $0$。
公式：|I+C| = \prod (1+\lambda)
提示：注意 $1+(-1)=0$，所以只要有一个特征值为 $-1$，行列式就为0。
步骤 4/4
目标：利用 $-1$ 的个数为奇数推出行列式为0
由于 $|C| = -1$，$-1$ 的个数为奇数，至少有一个 $-1$ 特征值，因此 $|I+C| = 0$。从而 $|A+B| = 0$。
提示：不要忽略奇数个 $-1$ 的情况，若 $-1$ 个数为偶数则 $|C|=1$，但这里已知 $|C|=-1$。
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