哈尔滨工程大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
七、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义几何重数和代数重数
设 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值，几何重数 $g = n - r(\lambda_0 E - A)$，即特征空间 $\ker(\lambda_0 E - A)$ 的维数。代数重数 $m$ 是特征多项式 $|\lambda E - A|$ 中因子 $(\lambda - \lambda_0)^m$ 的指数。
公式：g = n - r(\lambda_0 E - A)
提示：注意几何重数是特征空间的维数，代数重数是特征多项式根的重数。
步骤 2/6
目标：引入Jordan标准形
由于 $A$ 是方阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = J$，其中 $J$ 是 Jordan 标准形。$J$ 由若干 Jordan 块组成，每个 Jordan 块对应一个特征值。
公式：P^{-1}AP = J
提示：Jordan标准形存在性依赖于代数闭域，但复数域上总是成立的。
步骤 3/6
目标：分析特征值对应的Jordan块
设 $\lambda_0$ 对应的 Jordan 块有 $g$ 个，阶数分别为 $m_1, m_2, \dots, m_g$。则这些 Jordan 块的总阶数和等于代数重数 $m = m_1 + m_2 + \dots + m_g$。
公式：m = \sum_{i=1}^g m_i
提示：每个Jordan块的阶数至少为1。
步骤 4/6
目标：几何重数与Jordan块个数的关系
几何重数 $g$ 等于 $\lambda_0$ 对应的线性无关特征向量的个数。在 Jordan 标准形中，每个 Jordan 块对应一个特征向量，因此 $g$ 就是 $\lambda_0$ 对应的 Jordan 块个数。
提示：注意：特征向量个数等于Jordan块个数，而不是阶数。
步骤 5/6
目标：比较几何重数与代数重数
由于每个 $m_i \geq 1$，所以 $g = \sum_{i=1}^g 1 \leq \sum_{i=1}^g m_i = m$。因此几何重数不超过代数重数。
公式：g \leq m
提示：当且仅当所有Jordan块阶数为1时取等号，此时矩阵可对角化。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，对于任意特征值 $\lambda_0$，其几何重数 $g$ 不大于代数重数 $m$。
提示：这是线性代数中重要结论，常用于判断矩阵是否可对角化。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。