哈尔滨工程大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle a \neq b, n$ 阶行列式 $\displaystyle \left\lvert\, \begin{array}{cccccc}a+b & a b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & a b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a+b & a b \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a+b\end{array}\right.$的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立递推关系
设 $n$ 阶行列式为 $D_n$。按第一行展开：
$$D_n = (a+b) D_{n-1} - ab \begin{vmatrix} 1 & ab & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a+b & ab & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a+b \end{vmatrix}_{(n-1)}$$
公式：行列式按第一行展开公式
提示：注意符号：展开时，第一行第二列元素的代数余子式系数为 $(-1)^{1+2} = -1$，所以第二项为 $-ab$ 乘以余子式。
步骤 2/6
目标：化简余子式
第二个行列式按第一列展开，第一列只有第一个元素为1，其余为0，所以该行列式等于 $1 \cdot D_{n-2}$。因此得到递推关系：
$$D_n = (a+b) D_{n-1} - ab D_{n-2}.$$
提示：注意余子式的阶数：原行列式是 $n-1$ 阶，按第一列展开后得到 $n-2$ 阶行列式 $D_{n-2}$。
步骤 3/6
目标：求解递推关系
递推关系 $D_n = (a+b) D_{n-1} - ab D_{n-2}$ 是二阶线性齐次递推。特征方程为 $r^2 - (a+b)r + ab = 0$，解得 $r_1 = a$, $r_2 = b$。由于 $a \neq b$，通解为 $D_n = C_1 a^n + C_2 b^n$。
公式：特征方程 $r^2 - (a+b)r + ab = 0$
提示：特征方程的形式：将 $D_n$ 视为 $r^n$，代入递推得 $r^n = (a+b)r^{n-1} - ab r^{n-2}$，除以 $r^{n-2}$ 即得。
步骤 4/6
目标：确定初始条件
计算 $D_1$ 和 $D_2$：
$D_1 = a+b$。
$D_2 = \begin{vmatrix} a+b & ab \\ 1 & a+b \end{vmatrix} = (a+b)^2 - ab = a^2 + ab + b^2$。
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix} = ps - qr$
提示：注意 $D_2$ 的计算：直接使用二阶行列式公式，不要遗漏项。
步骤 5/6
目标：求解待定系数
将初始条件代入通解：
$$\begin{cases} C_1 a + C_2 b = a+b \\ C_1 a^2 + C_2 b^2 = a^2 + ab + b^2 \end{cases}$$
解方程组：第一式乘以 $b$ 得 $C_1 ab + C_2 b^2 = ab + b^2$，与第二式相减得 $C_1 (a^2 - ab) = a^2$，即 $C_1 a(a-b) = a^2$，所以 $C_1 = \frac{a}{a-b}$。类似地，$C_2 = \frac{b}{b-a}$。
提示：解方程组时注意 $a \neq b$，可安全除法。也可利用对称性直接写出 $C_2$。
步骤 6/6
目标：写出最终表达式
将 $C_1$ 和 $C_2$ 代入通解：
$$D_n = \frac{a}{a-b} a^n + \frac{b}{b-a} b^n = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a-b}.$$
公式：$D_n = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a-b}$
提示：注意合并时 $\frac{b}{b-a} = -\frac{b}{a-b}$，所以 $D_n = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a-b}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。