哈尔滨工程大学 2024年高等代数第13题

设 $a = a_0 + a_1 \beta + a_2 \beta^2$, $b = b_0 + b_1 \beta + b_2 \beta^2 \in F$，则 $a \pm b = (a_0 \pm b_0) + (a_1 \pm b_1) \beta + (a_2 \pm b_2) \beta^2 \in F$，因为有理数对加减法封闭。

计算 $a \cdot b$，利用 $\beta^3 = 2$，$\beta^4 = 2\beta$。展开得： $$\begin{aligned} a \cdot b &= (a_0 + a_1 \beta + a_2 \beta^2)(b_0 + b_1 \beta + b_2 \beta^2) \\ &= a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) \beta + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) \beta^2 \\ &\quad + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \beta^3 + a_2 b_2 \beta^4 \\ &= a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) \beta + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) \beta^2 \\ &\quad + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \cdot 2 + a_2 b_2 \cdot 2 \beta \\ &= (a_0 b_0 + 2a_1 b_2 + 2a_2 b_1) + (a_0 b_1 + a_1 b_0 + 2a_2 b_2) \beta \\ &\quad + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) \beta^2 \in F. \end{aligned}$$

取 $k_0 = k_1 = k_2 = 0$ 得 $0$；取 $k_0 = 1, k_1 = k_2 = 0$ 得 $1$。因此 $0, 1 \in F$。

需证对任意非零 $a \in F$，$a^{-1} \in F$。等价于证 $F$ 是域。由于 $\beta = \sqrt[3]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式为 $x^3 - 2$（由Eisenstein判别法知不可约），故 $[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}] = 3$，且 $\mathbb{Q}(\beta)$ 是域。而 $F = \mathbb{Q}(\beta)$，因此 $F$ 是数域。

对非零 $a = f(\beta) \in F$，其中 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$。由于 $\gcd(f(x), x^3-2)=1$（否则 $a=0$），由Bezout引理，存在 $u(x), v(x) \in \mathbb{Q}[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)(x^3-2)=1$。代入 $x=\beta$ 得 $u(\beta)a=1$，故 $a^{-1}=u(\beta) \in \mathbb{Q}(\beta)$。由于 $\mathbb{Q}(\beta)$ 中每个元素可唯一表示为 $k_0 + k_1 \beta + k_2 \beta^2$，所以 $a^{-1} \in F$。

由以上步骤，$F$ 对加法、减法、乘法、除法封闭，且包含 $0$ 和 $1$，故 $F$ 构成数域。