哈尔滨工程大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设有向量组
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
2 \\
2 \\
0 \\
-2
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}
3 \\
2 \\
-1 \\
-5
\end{array}\right) .
$$
令 $\displaystyle W=\operatorname{span}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的全部线性组合构成的线性空间，求 $W$ 的维数和一组基．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造矩阵并化为行最简形
将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 按列排成矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & -5 \end{pmatrix}.$$ 对 $A$ 进行初等行变换。首先，将第1行乘以-1加到第2行，第1行加到第4行，得到：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.$$
提示：注意行变换时，第1行加到第4行是 $r_4 + r_1$，而不是 $r_4 - r_1$。
步骤 2/5
目标：继续行变换得到行最简形
接着，将第2行乘以-1加到第3行，第2行乘以-2加到第4行，得到：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 此矩阵即为行最简形。
提示：注意第2行乘以-2加到第4行时，第4行变为 $0-2\times(-1)=2$，但实际应为 $(-2)-2\times(-1)=0$，需仔细计算。
步骤 3/5
目标：确定向量组的秩
行最简形矩阵的非零行数为2，因此向量组的秩为2，即 $W$ 的维数为 $\dim W = 2$。
提示：秩等于行最简形中非零行的行数，也等于主元列的个数。
步骤 4/5
目标：选取一组基
在行最简形中，主元列是第1列和第3列（因为第1列和第3列含有主元1）。因此，原向量组中对应的向量 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 构成 $W$ 的一组基：
$$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.$$
提示：注意基向量必须取自原向量组，且主元列对应的向量线性无关。
步骤 5/5
目标：验证基的线性无关性
检查 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 是否线性无关：设 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_3 = 0$，即
$$\begin{cases} k_1 + k_2 = 0 \\ k_1 + 2k_2 = 0 \\ 0 \cdot k_1 + k_2 = 0 \\ -k_1 + k_2 = 0 \end{cases}.$$ 由第3个方程得 $k_2=0$，代入第1个方程得 $k_1=0$，因此只有零解，线性无关。
提示：验证线性无关时，只需检查对应系数矩阵的秩是否为2。
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