哈尔滨工程大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间，$V$ 的一组基 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求证：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ 也是 $V$ 的基。
（2）求基 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 到基 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 的过渡矩阵．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证B1,B2,B3属于V
由于V由A1,A2,A3张成，且A1,A2,A3线性无关，V的维数为3。要证明B1,B2,B3也是V的基，需先验证它们属于V。设B1=x1A1+x2A2+x3A3，即
\[
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3 & x_1+x_3 \\ 0 & x_2+x_3 \end{pmatrix}.
\]
比较元素得方程组：
\[
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 2 \end{cases}
\]
解得x1=0, x2=1, x3=1，所以B1=A2+A3。类似可得B2=A1+A3，B3=A2+2A3，因此B1,B2,B3∈V。
提示：注意矩阵相等时对应元素相等，建立方程组时要仔细。
步骤 2/5
目标：求B1,B2,B3在基A下的坐标
由第一步已得：
B1的坐标向量为(0,1,1)^T，
B2的坐标向量为(1,0,1)^T，
B3的坐标向量为(0,1,2)^T。
提示：坐标向量是系数按基的顺序排列成的列向量。
步骤 3/5
目标：证明B1,B2,B3线性无关
计算坐标向量组成的矩阵的行列式：
\[
\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix}0&1\\1&2\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}1&0\\1&2\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix} = - (2-0) = -2 \neq 0.
\]
行列式非零，所以三个坐标向量线性无关，从而B1,B2,B3线性无关。
公式：行列式非零⇔向量组线性无关
提示：计算三阶行列式时可用对角线法则或展开法，注意符号。
步骤 4/5
目标：得出B1,B2,B3是V的基
由于V的维数为3，且B1,B2,B3是V中三个线性无关的向量，因此它们构成V的一组基。
提示：维数等于向量个数且线性无关，则构成基。
步骤 5/5
目标：写出过渡矩阵
从基A到基B的过渡矩阵P的列向量是B1,B2,B3在基A下的坐标向量，即
\[
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
\]
提示：过渡矩阵的列是后一组基在前一组基下的坐标。
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