广西民族大学 2010年高等代数第10题

由 $A^2 = 4A$，设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $x$，则 $A^2 x = \lambda^2 x$，同时 $4A x = 4\lambda x$，所以 $\lambda^2 x = 4\lambda x$，即 $(\lambda^2 - 4\lambda)x = 0$。由于 $x \neq 0$，得 $\lambda^2 - 4\lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 4$。因此 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $4$。

已知 $A$ 的秩为 $r$，则 $0$ 特征值的几何重数（即零空间的维数）为 $n - r$。由于特征值 $0$ 的代数重数不小于几何重数，所以 $0$ 的代数重数至少为 $n - r$。同理，$4$ 特征值的几何重数等于 $r$（因为 $A$ 的秩为 $r$，且 $4$ 对应的特征空间维数等于 $r$？实际上，由 $A^2=4A$ 可推出 $A$ 可对角化，因此几何重数等于代数重数，但此处先不展开）。

由 $A^2 = 4A$ 得 $A(A-4I)=0$，所以 $A$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 整除 $\lambda(\lambda-4)$，即 $m(\lambda) = \lambda$ 或 $\lambda-4$ 或 $\lambda(\lambda-4)$。无论哪种情况，极小多项式无重根，因此 $A$ 可对角化。

由于 $A$ 可对角化，且特征值只有 $0$ 和 $4$，设 $4$ 的代数重数为 $k$，则 $0$ 的代数重数为 $n-k$。又因为 $A$ 的秩等于非零特征值的个数（计入重数），即 $r = k$。所以 $4$ 的代数重数为 $r$，$0$ 的代数重数为 $n-r$。

存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(4,\dots,4,0,\dots,0)$，其中 $4$ 出现 $r$ 次，$0$ 出现 $n-r$ 次。

由于 $A-3I = P\Lambda P^{-1} - 3I = P(\Lambda - 3I)P^{-1}$，所以 $A-3I$ 相似于 $\Lambda - 3I = \operatorname{diag}(4-3,\dots,4-3,0-3,\dots,0-3) = \operatorname{diag}(1,\dots,1,-3,\dots,-3)$，其中 $1$ 出现 $r$ 次，$-3$ 出现 $n-r$ 次。因此 $A-3I$ 的特征值为 $1$（$r$ 重）和 $-3$（$n-r$ 重）。

行列式等于所有特征值的乘积，所以 $|A-3I| = 1^r \cdot (-3)^{n-r} = (-3)^{n-r}$。