广西民族大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）
假设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 不全为 0 ，证明：$\displaystyle (f(x), g(x))^{n}=\left(f(x)^{n}, g(x)^{n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设最大公因式并写出其线性组合
设 $d(x) = (f(x), g(x))$，则存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$。
公式：d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)
提示：注意 $u(x), v(x)$ 的存在性由辗转相除法保证，但具体形式不需要求出。
步骤 2/6
目标：证明 $d(x)^n$ 是 $f(x)^n$ 和 $g(x)^n$ 的公因式
由于 $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid g(x)$，故 $d(x)^n \mid f(x)^n$ 且 $d(x)^n \mid g(x)^n$，所以 $d(x)^n$ 是 $f(x)^n$ 和 $g(x)^n$ 的公因式。
提示：注意整除关系的传递性：若 $d \mid f$，则 $d^n \mid f^n$。
步骤 3/6
目标：将 $f,g$ 用 $d$ 表示并引入互素的多项式
设 $f(x) = d(x) f_1(x)$，$g(x) = d(x) g_1(x)$，则 $(f_1, g_1) = 1$。于是 $f(x)^n = d(x)^n f_1(x)^n$，$g(x)^n = d(x)^n g_1(x)^n$。
公式：f = d f_1, g = d g_1, (f_1, g_1)=1
提示：注意 $f_1, g_1$ 互素是因为 $d$ 是最大公因式。
步骤 4/6
目标：将 $(f^n, g^n)$ 用 $d^n$ 和 $(f_1^n, g_1^n)$ 表示
由最大公因式的性质，$(f(x)^n, g(x)^n) = d(x)^n (f_1(x)^n, g_1(x)^n)$。因为 $d(x)^n$ 是公因式，且提取公因式后剩余部分的最大公因式即为 $(f_1^n, g_1^n)$。
公式：(f^n, g^n) = d^n (f_1^n, g_1^n)
提示：注意提取公因式时，最大公因式等于公因式乘以剩余部分的最大公因式。
步骤 5/6
目标：证明 $(f_1^n, g_1^n) = 1$
由于 $(f_1, g_1)=1$，假设存在不可约多项式 $p(x)$ 整除 $f_1^n$ 和 $g_1^n$，则 $p(x)$ 整除 $f_1$ 和 $g_1$，矛盾。因此 $(f_1^n, g_1^n)=1$。
提示：注意：若 $p \mid f_1^n$，则 $p$ 的每个不可约因子必整除 $f_1$，从而 $p \mid f_1$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $(f(x)^n, g(x)^n) = d(x)^n \cdot 1 = d(x)^n = (f(x), g(x))^n$。
公式：(f^n, g^n) = (f, g)^n
提示：注意最终等式左右两边均为多项式，不要遗漏指数。
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