武汉理工大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ ．
（1）若 $f$ 正定，求 $t$ 的取值范围．
（2）$\displaystyle t=2$ 时，求 $f$ 的规范形，并写出所作的非退化线性替换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=t(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3-4x_2x_3$ 的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{ii}=t$，$a_{12}=a_{21}=2$，$a_{13}=a_{31}=2$，$a_{23}=a_{32}=-2$。因此 $A=\begin{pmatrix} t & 2 & 2 \\ 2 & t & -2 \\ 2 & -2 & t \end{pmatrix}$。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $4x_1x_2$ 对应 $a_{12}=2$。
步骤 2/7
目标：正定条件：各阶顺序主子式大于0
实二次型 $f$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式大于0。计算一阶主子式：$\Delta_1 = t > 0$。二阶主子式：$\Delta_2 = \begin{vmatrix} t & 2 \\ 2 & t \end{vmatrix} = t^2 - 4 > 0$，解得 $t > 2$ 或 $t < -2$，结合 $t>0$ 得 $t>2$。三阶主子式：$\det A = \begin{vmatrix} t & 2 & 2 \\ 2 & t & -2 \\ 2 & -2 & t \end{vmatrix} = t(t^2-4) - 2(2t+4) + 2(-4-2t) = t^3 - 4t - 4t - 8 - 8 - 4t = t^3 - 12t - 16$。令 $\det A > 0$，即 $t^3 - 12t - 16 > 0$。因式分解：$t^3 - 12t - 16 = (t-4)(t^2+4t+4) = (t-4)(t+2)^2 > 0$，得 $t > 4$ 且 $t \neq -2$。综合 $t>2$ 得 $t>4$。
公式：顺序主子式：$\Delta_k = \det(A_{k})$，其中 $A_k$ 是 $A$ 的前 $k$ 行 $k$ 列子矩阵。
提示：三阶行列式计算易出错，注意符号；因式分解时注意 $(t+2)^2$ 非负，因此只需 $t-4>0$。
步骤 3/7
目标：确定t的取值范围
由 $t>0$，$t>2$，$t>4$ 取交集，得 $t>4$。因此 $f$ 正定时 $t$ 的取值范围是 $(4, +\infty)$。
提示：注意各阶主子式条件需同时满足，不能遗漏。
步骤 4/7
目标：t=2时写出矩阵并求特征值
当 $t=2$ 时，$A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$。求特征值：解 $\det(\lambda I - A)=0$，即 $\begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 & -2 \\ -2 & \lambda-2 & 2 \\ -2 & 2 & \lambda-2 \end{vmatrix}=0$。计算得特征多项式为 $(\lambda-4)^2(\lambda+2)=0$，特征值为 $\lambda_1=4$（二重），$\lambda_2=-2$（一重）。因此正惯性指数为2，负惯性指数为1。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$
提示：特征多项式计算可先进行行变换简化，注意重根情况。
步骤 5/7
目标：求特征向量并正交单位化
对于 $\lambda=4$：解 $(4I-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}x=0$，得基础解系 $\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1)^T$。正交化：$\beta_1=\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=(1,0,1)^T-\frac{1}{2}(1,1,0)^T=(\frac12,-\frac12,1)^T$。单位化：$\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$，$\gamma_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T$。对于 $\lambda=-2$：解 $(-2I-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix} -4 & -2 & -2 \\ -2 & -4 & 2 \\ -2 & 2 & -4 \end{pmatrix}x=0$，得基础解系 $\alpha_3=(1,-1,-1)^T$，单位化：$\gamma_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1)^T$。
公式：Schmidt正交化：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i$
提示：正交化时注意计算内积，单位化时不要忘记除以模长。
步骤 6/7
目标：构造正交变换并化为标准形
令正交矩阵 $Q=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$，则 $Q^TAQ=\operatorname{diag}(4,4,-2)$。作正交变换 $x=Qy$，得 $f=4y_1^2+4y_2^2-2y_3^2$。
公式：正交变换：$x=Qy$，$f=y^T Q^T A Q y = \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2$
提示：正交矩阵的列向量是标准正交基，注意顺序对应特征值。
步骤 7/7
目标：化为规范形并写出非退化线性替换
令 $z_1=2y_1$，$z_2=2y_2$，$z_3=\sqrt{2}y_3$，即 $y_1=\frac12 z_1$，$y_2=\frac12 z_2$，$y_3=\frac{1}{\sqrt{2}}z_3$，则 $f=z_1^2+z_2^2-z_3^2$。非退化线性替换为 $x=Qy=Q\operatorname{diag}(\frac12,\frac12,\frac{1}{\sqrt{2}})z$，即 $$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{2}} & \frac{1}{2\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{2\sqrt{2}} & -\frac{1}{2\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}.$$ 规范形为 $z_1^2+z_2^2-z_3^2$。
公式：规范形：$z_1^2+\cdots+z_p^2 - z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2$，其中 $p$ 为正惯性指数，$q$ 为负惯性指数。
提示：注意规范形中系数为1或-1，需通过缩放变换实现；非退化线性替换矩阵可合并计算。
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