江南大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3、设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩，证明：$\displaystyle r(A)=n$ 当且仅当存在一个实阵 $B$ ，使 $\displaystyle A^{\top} B+B^{\top} A$ 是正定矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目条件和目标
题目要求证明：$n$阶实矩阵$A$的秩$r(A)=n$当且仅当存在一个实矩阵$B$使得$A^{\top}B+B^{\top}A$是正定矩阵。需要分别证明必要性和充分性。
提示：注意$A$是实矩阵，$B$也是实矩阵，正定性是针对实对称矩阵定义的，但$A^{\top}B+B^{\top}A$不一定对称，不过题目中正定通常指对任意非零向量$x$有$x^{\top}Cx>0$，且$C$不一定对称，但$x^{\top}Cx$是实数。
步骤 2/4
目标：必要性证明：由$r(A)=n$构造$B$
假设$r(A)=n$，则$A$可逆。取$B=A$，则$A^{\top}B+B^{\top}A = A^{\top}A + A^{\top}A = 2A^{\top}A$。由于$A$可逆，$A^{\top}A$是正定矩阵（因为对任意非零向量$x$，$x^{\top}A^{\top}Ax = \|Ax\|^2 > 0$），所以$2A^{\top}A$也是正定矩阵。必要性得证。
公式：$A^{\top}B+B^{\top}A = 2A^{\top}A$
提示：注意$A^{\top}A$的正定性依赖于$A$可逆，即$Ax=0$只有零解。
步骤 3/4
目标：充分性证明：由存在$B$使$C$正定推出$A$列满秩
假设存在实矩阵$B$使得$C = A^{\top}B + B^{\top}A$正定。则对任意非零向量$x \in \mathbb{R}^n$，有$x^{\top}Cx > 0$。计算$x^{\top}Cx$：$x^{\top}Cx = x^{\top}(A^{\top}B + B^{\top}A)x = x^{\top}A^{\top}Bx + x^{\top}B^{\top}Ax = (Ax)^{\top}(Bx) + (Bx)^{\top}(Ax) = 2(Ax)^{\top}(Bx)$。因此$2(Ax)^{\top}(Bx) > 0$，特别地$Ax \neq 0$（否则$(Ax)^{\top}(Bx)=0$矛盾）。所以$Ax=0$只有零解，即$A$的列向量线性无关，故$r(A)=n$。充分性得证。
公式：$x^{\top}Cx = 2(Ax)^{\top}(Bx)$
提示：注意$(Ax)^{\top}(Bx)$是实数，且$x^{\top}Cx$为正保证了$Ax \neq 0$，但并不能直接得到$Bx$非零。
步骤 4/4
目标：总结结论
必要性：若$r(A)=n$，取$B=A$，则$A^{\top}B+B^{\top}A$正定。充分性：若存在$B$使$A^{\top}B+B^{\top}A$正定，则$r(A)=n$。因此$r(A)=n$当且仅当存在实矩阵$B$使$A^{\top}B+B^{\top}A$正定。
提示：注意充分性证明中，我们只用了$C$的正定性，没有用到$C$的对称性，实际上$C$不一定对称，但正定性通常要求$C$对称，不过这里$x^{\top}Cx$是实数，且$C$可以不对称，但正定定义通常针对对称矩阵。本题中$C$可能不对称，但$x^{\top}Cx$为正的条件仍然成立。
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